Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuántos niveles tiene la recursión de merge sort para un array de n elementos?

  1. AUnos n
  2. BUnos n / 2
  3. CUnos √n
  4. DUnos log₂ n
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuáles son los costes de tiempo y espacio de calcular el n-ésimo número de Fibonacci con un bucle que guarda solo los dos últimos valores?

  1. ATiempo O(2ⁿ) y espacio O(1)
  2. BTiempo O(log n) y espacio O(n)
  3. CTiempo O(n) y espacio O(n)
  4. DTiempo O(n) y espacio O(1)
3.Estructuras de datosMedia

Un búfer circular (ring buffer) se usa habitualmente para implementar:

  1. AUna función hash
  2. BUn árbol binario de búsqueda
  3. CUna cola de tamaño fijo
  4. DUn recorrido de grafo
4.Estructuras de datosDifícil

Para cada elemento de un arreglo quieres el siguiente elemento mayor a su derecha, en un tiempo total O(n). ¿Qué estructura ayuda?

  1. AUna pila que guarda los elementos que esperan su respuesta
  2. BUna cola que contiene todos los pares de elementos
  3. CUn árbol binario de búsqueda reconstruido para cada elemento
  4. DUna tabla hash con todos los elementos
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 14 vértices y 16 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 14|E| = 16
k =
6.Teoría de grafosDifícil
447424615111ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Unos log₂ n

Por qué esta es la respuesta

Dividir por la mitad de n hasta 1 lleva unos log₂ n niveles, y cada nivel hace un trabajo de mezcla O(n), lo que da O(n log n).

Respuesta

D · Unos log₂ n
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Tiempo O(n) y espacio O(1)

Por qué esta es la respuesta

Cada paso necesita solo los dos valores anteriores, así que la tabla del método ascendente puede sustituirse por dos variables.

Respuesta

D · Tiempo O(n) y espacio O(1)
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una cola de tamaño fijo

Por qué esta es la respuesta

Un búfer circular usa índices de cabeza y cola que dan la vuelta, lo que permite enqueue y dequeue en O(1) con memoria fija.

Respuesta

C · Una cola de tamaño fijo
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Una pila que guarda los elementos que esperan su respuesta

Por qué esta es la respuesta

Recorriendo de izquierda a derecha, se desapila cada elemento de la pila menor que el actual (el actual es su respuesta) y luego se apila este; cada elemento se mueve como máximo dos veces.

Respuesta

A · Una pila que guarda los elementos que esperan su respuesta
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 3

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

14 − 1 = 13

Aristas que quitar

k = 16 − 13 = 3

Respuesta

k = 3
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 14

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 4, C: 4
B (4): D: 8
C (4): E: 6
E (6): F: 21, G: 17
D (8): F: 14, G: 9
G (9)
F (14)

Camino más corto

A → B → D → F
d(F) = 14

Respuesta

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms