Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué mide el análisis amortizado?

  1. AEl coste esperado con entradas aleatorias
  2. BEl coste de la única operación más cara de toda la secuencia
  3. CEl coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso
  4. DEl coste de un algoritmo con la mejor entrada
2.Algoritmos y complejidadDifícil

La ordenación topológica solo es posible en:

  1. AGrafos con pesos negativos
  2. BGrafos dirigidos acíclicos (DAG)
  3. CGrafos completos
  4. DGrafos no dirigidos
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de buscar una clave en un árbol binario de búsqueda balanceado?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué no se pueden eliminar elementos de un filtro de Bloom estándar simplemente poniendo a cero sus bits?

  1. AEliminar elevaría la tasa de falsos positivos al 100%
  2. BLos filtros de Bloom almacenan los elementos completos, que ya no pueden volver a localizarse una vez aplicado el hash
  3. CLos bits de un filtro de Bloom no pueden cambiarse después de crearlo
  4. DEsos bits pueden pertenecer también a otros elementos, lo que causaría falsos negativos
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 3, 3 vértices de grado 4, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 33 × deg 4
L =
6.Teoría de grafosDifícil
7171411121619ABCDE

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice A. Haz clic en la arista que añade como arista número 4.

inicio: Ak = 4
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · El coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso

Por qué esta es la respuesta

El análisis amortizado reparte el coste de las operaciones caras y poco frecuentes entre muchas baratas, lo que da una media garantizada para cualquier secuencia.

Respuesta

C · El coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Grafos dirigidos acíclicos (DAG)

Por qué esta es la respuesta

Existe un orden topológico si y solo si el grafo dirigido no tiene ciclos; se puede encontrar en O(V + E) con DFS o con el algoritmo de Kahn.

Respuesta

B · Grafos dirigidos acíclicos (DAG)
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Un árbol balanceado tiene una altura de aproximadamente log₂ n, así que una búsqueda sigue un único camino desde la raíz hasta una hoja.

Respuesta

C · O(log n)
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Esos bits pueden pertenecer también a otros elementos, lo que causaría falsos negativos

Por qué esta es la respuesta

Poner a cero un bit compartido haría que otro elemento pareciera ausente; los filtros de Bloom con contadores (counting Bloom filters) guardan contadores en lugar de bits para permitir eliminaciones.

Respuesta

D · Esos bits pueden pertenecer también a otros elementos, lo que causaría falsos negativos
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 11

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 21 = 2(L + 6) − 2
L = 11

Respuesta

L = 11

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: arista CE

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. AB (7)
2. BD (11)
3. BC (14)
4. CE (12)

arista número 4

CE

Respuesta

arista CE

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