Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de: para i = 1 hasta n: para j = 1 hasta i: hacer trabajo O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Usando el teorema maestro, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) tiene como solución:

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n³)
3.Estructuras de datosMedia

En un montículo binario almacenado en un arreglo que empieza en el índice 0, ¿dónde está el padre del nodo del índice i?

  1. AEn el índice 2i + 1
  2. BEn el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
  3. CEn el índice ⌊i / 2⌋ + 1
  4. DEn el índice i − 1
4.Estructuras de datosDifícil

En un búfer circular, front == rear puede significar que está vacío o que está lleno. ¿Cuál es una forma habitual de distinguirlo?

  1. AVaciar siempre el búfer cuando front es igual a rear, de modo que el estado sea vacío
  2. BGuardar front y rear en la misma variable
  3. CMantener un contador de elementos aparte, o dejar siempre una posición sin usar
  4. DHacer que el tamaño del búfer sea una potencia de dos
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 3, 4 vértices de grado 4, 3 vértices de grado 5, 3 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 34 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
3158111114573ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(n²)

Por qué esta es la respuesta

El cuerpo interior se ejecuta n(n + 1) / 2 veces en total, lo que sigue siendo cuadrático.

Respuesta

C · O(n²)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Θ(n³)

Por qué esta es la respuesta

log₂ 8 = 3, y n² crece más despacio que n³, así que dominan las hojas: Θ(n³).

Respuesta

D · Θ(n³)
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋

Por qué esta es la respuesta

Los hijos de i están en 2i + 1 y 2i + 2, así que el padre de i está en ⌊(i − 1) / 2⌋; con índices desde 1 es ⌊i / 2⌋.

Respuesta

B · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Mantener un contador de elementos aparte, o dejar siempre una posición sin usar

Por qué esta es la respuesta

Con un contador, vacío significa count = 0 y lleno significa count = capacidad; con una posición vacía, lleno se define como (rear + 1) mod n == front.

Respuesta

C · Mantener un contador de elementos aparte, o dejar siempre una posición sin usar
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 21

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 43 = 2(L + 12) − 2
L = 21

Respuesta

L = 21

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 13

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 3, C: 15
B (3): C: 11, D: 14, E: 6
E (6): F: 13
C (11)
F (13)
D (14)

Camino más corto

A → B → E → F
d(F) = 13

Respuesta

d(F) = 13

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