Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Aproximadamente cuántas comparaciones necesita la búsqueda binaria en el peor caso en un array ordenado de 1,000,000 de elementos?

  1. AUnas 20
  2. BUnas 1,000
  3. CUnas 100
  4. DUnas 500,000
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué técnica proporciona a quicksort un tiempo de ejecución esperado de O(n log n) para cualquier entrada?

  1. AElegir siempre el primer elemento
  2. BOrdenar la entrada antes de ejecutar quicksort
  3. CElegir el pivote de forma uniformemente aleatoria
  4. DUsar recursión solo en el lado izquierdo
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué ocurre cuando una tabla hash hace un rehash porque su factor de carga supera un umbral?

  1. ASolo las claves que colisionan se mueven a una lista de desbordamiento nueva al final de la tabla
  2. BSe reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave
  3. CSe eliminan las claves más antiguas para hacer sitio
  4. DLas claves existentes se ordenan en su sitio
4.Estructuras de datosDifícil

Las claves 5, 3, 8, 1 se insertan en este orden en un min-heap binario vacío basado en un arreglo. ¿Cuál es el arreglo final?

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[1, 5, 8, 3]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
15141181996117ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Unas 20

Por qué esta es la respuesta

220 ≈ 1,048,576, así que tras unas 20 divisiones por la mitad solo queda un elemento.

Respuesta

A · Unas 20
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Elegir el pivote de forma uniformemente aleatoria

Por qué esta es la respuesta

Con un pivote aleatorio, el tiempo esperado es O(n log n) para cualquier entrada; los casos malos siguen existiendo, pero son muy improbables.

Respuesta

C · Elegir el pivote de forma uniformemente aleatoria
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Se reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave

Por qué esta es la respuesta

Como el índice se calcula módulo el tamaño de la tabla, todas las claves deben redistribuirse en la tabla nueva y mayor; duplicando el tamaño, esto sigue siendo O(1) amortizado.

Respuesta

B · Se reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · [1, 3, 8, 5]

Por qué esta es la respuesta

Tras 5, 3, 8 el arreglo es [3, 5, 8]; 1 va al índice 3, se intercambia con su padre 5 y luego con 3, lo que da [1, 3, 8, 5].

Respuesta

B · [1, 3, 8, 5]
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 56

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

DE (1): tomar
GC (6): tomar
GE (7): tomar
GB (9): tomar
GD (11): descartar, cierra un ciclo
CE (14): descartar, cierra un ciclo
AB (15): tomar
DF (18): tomar

Peso total

W = 1 + 6 + 7 + 9 + 15 + 18 = 56

Respuesta

W = 56

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