Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué mide el análisis amortizado?

  1. AEl coste de la única operación más cara de toda la secuencia
  2. BEl coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso
  3. CEl coste de un algoritmo con la mejor entrada
  4. DEl coste esperado con entradas aleatorias
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Los caminos simples más cortos pueden hallarse en tiempo polinómico. ¿Qué se sabe de hallar el camino simple más largo entre dos vértices en un grafo general?

  1. ASiempre puede resolverse en O(V + E)
  2. BEs indecidible
  3. CPuede resolverse con el algoritmo de Dijkstra con los pesos cambiados de signo
  4. DEs NP-difícil
3.Estructuras de datosMedia

Un trie (árbol de prefijos) es especialmente eficiente para:

  1. AOrdenar números
  2. BEncontrar caminos más cortos
  3. CBúsquedas por prefijo, como el autocompletado
  4. DAlmacenar matrices
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué problema del sondeo lineal reduce principalmente el doble hashing?

  1. ALa necesidad de una función hash
  2. BEl coste O(n) de leer el valor de una clave
  3. CLa necesidad de almacenar las claves en la tabla
  4. DEl agrupamiento primario, en el que se forman largas secuencias de posiciones ocupadas
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
3410159106736ABCDEFG

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 6; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · El coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso

Por qué esta es la respuesta

El análisis amortizado reparte el coste de las operaciones caras y poco frecuentes entre muchas baratas, lo que da una media garantizada para cualquier secuencia.

Respuesta

B · El coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Es NP-difícil

Por qué esta es la respuesta

Un camino simple más largo de longitud V − 1 es un camino hamiltoniano, un problema NP-completo; en grafos dirigidos acíclicos, en cambio, puede resolverse en tiempo lineal.

Respuesta

D · Es NP-difícil
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Búsquedas por prefijo, como el autocompletado

Por qué esta es la respuesta

Los tries almacenan cadenas carácter a carácter a lo largo de caminos, así que las búsquedas y consultas por prefijo tardan un tiempo proporcional a la longitud de la clave.

Respuesta

C · Búsquedas por prefijo, como el autocompletado
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · El agrupamiento primario, en el que se forman largas secuencias de posiciones ocupadas

Por qué esta es la respuesta

El sondeo lineal avanza de 1 en 1, así que las secuencias ocupadas crecen y se fusionan; el doble hashing usa un segundo hash para el tamaño del salto, de modo que claves distintas sondean secuencias distintas.

Respuesta

D · El agrupamiento primario, en el que se forman largas secuencias de posiciones ocupadas
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices impares

B, C → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: E

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 3, C: 4
2. B (3): D: 13
3. C (4): E: 19, G: 11
4. G (11): E: 17
5. D (13): F: 23
6. E (17)
7. F (23)

ronda 6

E

Respuesta

E

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