Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Con monedas de 1, 3 y 4 y una cantidad de 6, ¿cuántas monedas usa el método voraz de «la moneda más grande primero», comparado con el óptimo?

  1. AEl voraz usa 2 monedas; el óptimo es 2
  2. BEl voraz usa 3 monedas; el óptimo es 3
  3. CEl voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2
  4. DEl voraz usa 4 monedas; el óptimo es 3
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es el tiempo de ejecución del algoritmo de Dijkstra con un montículo binario en un grafo con V vértices y E aristas?

  1. AO(V³)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánto tarda la búsqueda de una palabra de longitud L en un trie con un alfabeto fijo?

  1. AO(L), independientemente de cuántas palabras haya almacenadas
  2. BO(n), donde n es el número de palabras
  3. CO(log n), donde n es el número de palabras
  4. DO(L × n)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué afirmación sobre heapsort es correcta?

  1. AOrdena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable
  2. BNecesita un árbol binario de búsqueda como almacenamiento adicional, así que usa O(n) de memoria extra
  3. CEs estable y necesita O(n) de memoria adicional
  4. DSe ejecuta en tiempo O(n) con cualquier entrada
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 3, 4 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 34 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
313297126ABCDE

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice B. Haz clic en la arista que añade como arista número 4.

inicio: Bk = 4
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · El voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2

Por qué esta es la respuesta

El voraz toma 4 + 1 + 1 = 3 monedas, pero 3 + 3 usa solo 2, así que el método voraz no es óptimo para este sistema de monedas; la programación dinámica sí lo es.

Respuesta

C · El voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O((V + E) log V)

Por qué esta es la respuesta

Hay V operaciones extract-min y hasta E operaciones decrease-key, cada una O(log V); un montículo de Fibonacci lo mejora a O(E + V log V).

Respuesta

B · O((V + E) log V)
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · O(L), independientemente de cuántas palabras haya almacenadas

Por qué esta es la respuesta

Cada carácter selecciona un hijo, así que una búsqueda requiere L pasos, contenga el trie las palabras que contenga.

Respuesta

A · O(L), independientemente de cuántas palabras haya almacenadas
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable

Por qué esta es la respuesta

Heapsort construye un max-heap y extrae el máximo n veces dentro del mismo arreglo; los intercambios a larga distancia pueden reordenar claves iguales.

Respuesta

A · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 5

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 17 = 2(L + 7) − 2
L = 5

Respuesta

L = 5

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: arista BD

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. BC (2)
2. AB (3)
3. BE (6)
4. BD (9)

arista número 4

BD

Respuesta

arista BD

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