Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de multiplicar dos matrices n × n con el triple bucle estándar?

  1. AO(n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n²)
  4. DO(n² log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Está 22n en O(2ⁿ)?

  1. ANo, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite
  2. BNo, porque 22n crece más despacio que 2ⁿ
  3. CSí, porque ambos son exponenciales
  4. DSí, porque los factores constantes del exponente se ignoran siempre en la notación O grande
3.Estructuras de datosMedia

Un búfer circular (ring buffer) se usa habitualmente para implementar:

  1. AUn árbol binario de búsqueda
  2. BUna función hash
  3. CUna cola de tamaño fijo
  4. DUn recorrido de grafo
4.Estructuras de datosDifícil

Eliminar un nodo con dos hijos de un árbol binario de búsqueda se hace normalmente:

  1. AEliminando todo el subárbol
  2. BReconstruyendo desde cero el subárbol que hay debajo y reinsertando todas las claves que contenía
  3. CReemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo
  4. DIntercambiándolo con la raíz
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 4 vértices de grado 3, 2 vértices de grado 4, 4 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

4 × deg 32 × deg 44 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 2 empiezan y terminan en B? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n³)

Por qué esta es la respuesta

Hay n² entradas y cada una necesita n multiplicaciones, lo que da n³ operaciones.

Respuesta

B · O(n³)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · No, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite

Por qué esta es la respuesta

Una constante sumada al exponente da un factor constante, pero una constante que multiplica al exponente cambia la base y el ritmo de crecimiento.

Respuesta

A · No, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una cola de tamaño fijo

Por qué esta es la respuesta

Un búfer circular usa índices de cabeza y cola que dan la vuelta, lo que permite enqueue y dequeue en O(1) con memoria fija.

Respuesta

C · Una cola de tamaño fijo
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Reemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo

Por qué esta es la respuesta

El sucesor en orden tiene como máximo un hijo, por lo que puede eliminarse fácilmente después de copiar su clave en el nodo que se va a eliminar.

Respuesta

C · Reemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 28 = 2(L + 10) − 2
L = 10

Respuesta

L = 10

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 4

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Vecinos comunes

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 4

Respuesta

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms