Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué significa que un problema tenga subestructura óptima?

  1. ATodos los subproblemas tienen el mismo tamaño
  2. BUna solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
  3. CEl problema tiene exactamente una solución óptima, que comparten todos sus subproblemas
  4. DEl problema puede resolverse en tiempo constante
2.Algoritmos y complejidadDifícil

La multiplicación de Karatsuba cumple T(n) = 3T(n/2) + O(n). ¿Cuál es la solución?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(nlog₂ 3), aproximadamente n1,585
  3. CΘ(n3)
  4. DΘ(n²)
3.Estructuras de datosMedia

Se implementa una cola con dos pilas: push en una pila «entrada» y pop de una pila «salida», que se rellena desde «entrada» cuando está vacía. ¿Cuál es el coste amortizado por operación?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
4.Estructuras de datosDifícil

Un arreglo dinámico duplica su tamaño cuando está lleno. ¿Por qué muchas implementaciones solo lo reducen cuando está lleno en una cuarta parte, y no en la mitad?

  1. APara evitar redimensionamientos repetidos cuando se alternan push y pop cerca del límite
  2. BPorque el asignador de memoria solo puede liberar memoria en cuartos de bloque
  3. CPorque reducirlo a la mitad al llegar a la mitad perdería elementos
  4. DPara mantener el arreglo ordenado
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 5, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 5
L =
6.Teoría de grafosDifícil
11410951442ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 5; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas

Por qué esta es la respuesta

La subestructura óptima es necesaria para que tanto los algoritmos voraces como la programación dinámica den respuestas correctas.

Respuesta

B · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Θ(nlog₂ 3), aproximadamente n1,585

Por qué esta es la respuesta

Como log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, dominan las hojas según el teorema maestro, lo que supera al método escolar O(n²).

Respuesta

B · Θ(nlog₂ 3), aproximadamente n1,585
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(1)

Por qué esta es la respuesta

Cada elemento se apila y se desapila como máximo dos veces en total, así que, aunque un rellenado puede costar O(n), la media a lo largo de una secuencia es O(1).

Respuesta

D · O(1)
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Para evitar redimensionamientos repetidos cuando se alternan push y pop cerca del límite

Por qué esta es la respuesta

Reducirlo al llegar a la mitad podría provocar un redimensionamiento en cada operación de esa secuencia; el margen entre 1/4 y lleno mantiene el coste amortizado en O(1).

Respuesta

A · Para evitar redimensionamientos repetidos cuando se alternan push y pop cerca del límite
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 11

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 15 = 2(L + 3) − 2
L = 11

Respuesta

L = 11

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: D

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 11, C: 4
2. C (4): E: 9
3. E (9): D: 23
4. B (11): D: 20
5. D (20): F: 24
6. F (24)

ronda 5

D

Respuesta

D

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