Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué la programación dinámica no aporta ninguna mejora real a merge sort?

  1. AMerge sort no tiene estructura recursiva
  2. BLa programación dinámica solo funciona con problemas de grafos, no con arreglos
  3. CSus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar
  4. DMerge sort ya es O(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué definición de la clase P es correcta?

  1. AProblemas que pueden resolverse en paralelo
  2. BProblemas cuyas soluciones pueden comprobarse, pero nunca hallarse, en tiempo polinómico
  3. CProblemas de decisión resolubles por un algoritmo determinista en tiempo polinómico
  4. DProblemas que necesitan tiempo exponencial en cualquier ordenador
3.Estructuras de datosMedia

En un min-heap binario almacenado en un arreglo (con índices desde 0), los hijos del nodo en el índice i están en:

  1. Ai/2 e i/2 + 1
  2. B2i + 1 y 2i + 2
  3. C2i y 2i + 1
  4. Di + 1 e i + 2
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuál es la principal ventaja de una skip list sobre una lista enlazada ordenada?

  1. AAlmacena las claves sin orden
  2. BBúsqueda garantizada en O(1), porque cada nodo guarda un puntero a todos los demás nodos
  3. CBúsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante
  4. DNo usa memoria adicional
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
8148471514810ABCDEFG

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 4; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Sus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar

Por qué esta es la respuesta

Las mitades de merge sort son disjuntas y cada una se resuelve una sola vez; la PD solo ayuda cuando los subproblemas se repiten, como en Fibonacci.

Respuesta

C · Sus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Problemas de decisión resolubles por un algoritmo determinista en tiempo polinómico

Por qué esta es la respuesta

P contiene los problemas de decisión con un algoritmo determinista de tiempo polinómico, como comprobar si un grafo es conexo.

Respuesta

C · Problemas de decisión resolubles por un algoritmo determinista en tiempo polinómico
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · 2i + 1 y 2i + 2

Por qué esta es la respuesta

En arreglos indexados desde 0, el hijo izquierdo está en 2i + 1, el hijo derecho en 2i + 2 y el padre en ⌊(i − 1)/2⌋.

Respuesta

B · 2i + 1 y 2i + 2
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Búsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante

Por qué esta es la respuesta

Los niveles aleatorios permiten que las búsquedas salten muchos nodos, lo que da O(log n) esperado en búsqueda, inserción y eliminación.

Respuesta

C · Búsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Vértices impares

B, C, E, F → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: C

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 8, C: 14
2. B (8): D: 12
3. D (12): F: 27, G: 20
4. C (14): E: 21
5. G (20)
6. E (21)
7. F (27)

ronda 4

C

Respuesta

C

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