Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

En un array ordenado buscas dos elementos que sumen un valor objetivo moviendo un puntero desde cada extremo hacia dentro. ¿Cuál es la complejidad temporal?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre P y NP es correcta?

  1. ANP significa «no polinómico»
  2. BTodo problema de P también está en NP
  3. CSe ha demostrado que P ≠ NP
  4. DLas soluciones de los problemas NP no se pueden verificar rápidamente
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánta memoria utiliza una matriz de adyacencia para un grafo con V vértices?

  1. AO(E)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(log V)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué las bases de datos suelen usar árboles B+ en lugar de árboles B simples para los índices?

  1. ALos árboles B+ usan nodos internos binarios, lo que reduce el número de lecturas de disco
  2. BTodos los registros están en hojas enlazadas, lo que hace eficientes los recorridos por rangos
  3. CLos árboles B+ no necesitan estar balanceados
  4. DLos árboles B+ almacenan los datos solo en la raíz
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
15111151349ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 3; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Si la suma es demasiado pequeña, el puntero izquierdo avanza a la derecha; si es demasiado grande, el derecho avanza a la izquierda, así que hay como mucho n pasos.

Respuesta

A · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Todo problema de P también está en NP

Por qué esta es la respuesta

P ⊆ NP: si puedes resolver un problema rápidamente, puedes verificar una solución rápidamente. Si P = NP sigue siendo una cuestión abierta.

Respuesta

B · Todo problema de P también está en NP
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(V²)

Por qué esta es la respuesta

Una matriz de adyacencia almacena V × V entradas, lo cual es eficiente para grafos densos; las listas de adyacencia usan O(V + E), mejor para grafos dispersos.

Respuesta

B · O(V²)
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Todos los registros están en hojas enlazadas, lo que hace eficientes los recorridos por rangos

Por qué esta es la respuesta

En un árbol B+ los nodos internos solo guían la búsqueda y las hojas están enlazadas en orden de clave, así que una consulta por rango encuentra la primera clave y luego avanza por las hojas.

Respuesta

B · Todos los registros están en hojas enlazadas, lo que hace eficientes los recorridos por rangos
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vértices impares

B, E → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: B

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 15, C: 1
2. C (1): B: 2, E: 6
3. B (2): D: 13
4. E (6): F: 10
5. F (10)
6. D (13)

ronda 3

B

Respuesta

B

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