Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuántos niveles tiene la recursión de merge sort para un array de n elementos?

  1. AUnos √n
  2. BUnos n / 2
  3. CUnos n
  4. DUnos log₂ n
2.Algoritmos y complejidadDifícil

La multiplicación de Karatsuba cumple T(n) = 3T(n/2) + O(n). ¿Cuál es la solución?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(nlog₂ 3), aproximadamente n1,585
  4. DΘ(n²)
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánta memoria usa una lista de adyacencia para un grafo con V vértices y E aristas?

  1. AO(V²)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E²)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué las bases de datos suelen usar árboles B+ en lugar de árboles B simples para los índices?

  1. ALos árboles B+ usan nodos internos binarios, lo que reduce el número de lecturas de disco
  2. BLos árboles B+ no necesitan estar balanceados
  3. CTodos los registros están en hojas enlazadas, lo que hace eficientes los recorridos por rangos
  4. DLos árboles B+ almacenan los datos solo en la raíz
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 4 vértices de grado 4, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

4 × deg 4
L =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 2 empiezan y terminan en D? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Unos log₂ n

Por qué esta es la respuesta

Dividir por la mitad de n hasta 1 lleva unos log₂ n niveles, y cada nivel hace un trabajo de mezcla O(n), lo que da O(n log n).

Respuesta

D · Unos log₂ n
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Θ(nlog₂ 3), aproximadamente n1,585

Por qué esta es la respuesta

Como log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, dominan las hojas según el teorema maestro, lo que supera al método escolar O(n²).

Respuesta

C · Θ(nlog₂ 3), aproximadamente n1,585
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · O(V + E)

Por qué esta es la respuesta

Cada vértice tiene una lista y cada arista aparece una vez (dirigido) o dos veces (no dirigido), lo que da O(V + E).

Respuesta

C · O(V + E)
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Todos los registros están en hojas enlazadas, lo que hace eficientes los recorridos por rangos

Por qué esta es la respuesta

En un árbol B+ los nodos internos solo guían la búsqueda y las hojas están enlazadas en orden de clave, así que una consulta por rango encuentra la primera clave y luego avanza por las hojas.

Respuesta

C · Todos los registros están en hojas enlazadas, lo que hace eficientes los recorridos por rangos
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

Respuesta

L = 10

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

Respuesta

N = 2

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