Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Es correcto decir que un algoritmo O(n²) también es O(n³)?

  1. ANo, porque n³ es menor que n² para n grande
  2. BNo, porque O grande debe dar siempre el ritmo de crecimiento exacto de la función
  3. CSí, porque O grande es una cota superior y n² no crece más deprisa que n³
  4. DSí, pero solo si n es menor que 100
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El problema de la mochila 0/1 resuelto con programación dinámica requiere un tiempo O(nW). ¿Por qué se llama pseudopolinómico?

  1. APorque solo funciona para W = 0
  2. BPorque n siempre es pequeño
  3. CW es un número, así que el tiempo es exponencial en el número de bits empleados para escribir W
  4. DPorque el algoritmo es aleatorizado y su tiempo de ejecución varía con cada entrada
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué estructura de datos utiliza la búsqueda en profundidad (DFS) en su versión iterativa?

  1. AUn montículo
  2. BUna cola
  3. CSolo una tabla hash
  4. DUna pila
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué problema del sondeo lineal reduce principalmente el doble hashing?

  1. ALa necesidad de almacenar las claves en la tabla
  2. BEl agrupamiento primario, en el que se forman largas secuencias de posiciones ocupadas
  3. CEl coste O(n) de leer el valor de una clave
  4. DLa necesidad de una función hash
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 3, 4 vértices de grado 5, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 34 × deg 5
L =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 2 empiezan y terminan en A? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Sí, porque O grande es una cota superior y n² no crece más deprisa que n³

Por qué esta es la respuesta

O grande es una cota superior, así que la afirmación es cierta pero no ajustada; Θ(n²) indica el ritmo de crecimiento exacto.

Respuesta

C · Sí, porque O grande es una cota superior y n² no crece más deprisa que n³
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · W es un número, así que el tiempo es exponencial en el número de bits empleados para escribir W

Por qué esta es la respuesta

El tiempo de ejecución es polinómico en el valor de W pero exponencial en su longitud (log W bits); la mochila 0/1 es NP-completa.

Respuesta

C · W es un número, así que el tiempo es exponencial en el número de bits empleados para escribir W
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una pila

Por qué esta es la respuesta

DFS explora lo más profundo posible y usa de forma natural una pila (o la pila de llamadas de la recursión); BFS usa una cola.

Respuesta

D · Una pila
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · El agrupamiento primario, en el que se forman largas secuencias de posiciones ocupadas

Por qué esta es la respuesta

El sondeo lineal avanza de 1 en 1, así que las secuencias ocupadas crecen y se fusionan; el doble hashing usa un segundo hash para el tamaño del salto, de modo que claves distintas sondean secuencias distintas.

Respuesta

B · El agrupamiento primario, en el que se forman largas secuencias de posiciones ocupadas
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 16

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 26 = 2(L + 6) − 2
L = 16

Respuesta

L = 16

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

Respuesta

N = 2

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