Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cómo se comparan n! y 2ⁿ para n grande?

  1. An! es O(n²)
  2. B2ⁿ crece más deprisa que n!
  3. Cn! crece más deprisa que 2ⁿ
  4. DCrecen al mismo ritmo
3.Estructuras de datosMedia

Se implementa una cola con dos pilas: push en una pila «entrada» y pop de una pila «salida», que se rellena desde «entrada» cuando está vacía. ¿Cuál es el coste amortizado por operación?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué propiedad mantiene perfectamente equilibrado todo árbol B?

  1. ATodas las hojas están a la misma profundidad
  2. BCada nodo tiene exactamente dos hijos
  3. CCada nodo almacena una clave
  4. DLas claves solo se almacenan en la raíz
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K6? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K6
H =
6.Teoría de grafosDifícil
155126112123ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n²)

Por qué esta es la respuesta

El trabajo suma unos n² / 2; es la recurrencia del ordenamiento por selección o de quicksort con el peor pivote.

Respuesta

B · O(n²)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · n! crece más deprisa que 2ⁿ

Por qué esta es la respuesta

Para n ≥ 4, n! supera a 2ⁿ, y el cociente crece sin límite porque cada factor adicional de n! es mayor que 2.

Respuesta

C · n! crece más deprisa que 2ⁿ
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · O(1)

Por qué esta es la respuesta

Cada elemento se apila y se desapila como máximo dos veces en total, así que, aunque un rellenado puede costar O(n), la media a lo largo de una secuencia es O(1).

Respuesta

C · O(1)
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Todas las hojas están a la misma profundidad

Por qué esta es la respuesta

Los nodos se dividen hacia arriba cuando están llenos y el árbol solo gana altura cuando se divide la raíz, así que todas las hojas permanecen siempre en el mismo nivel.

Respuesta

A · Todas las hojas están a la misma profundidad
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 60

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Respuesta

H = 60
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 30

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 15
B (15): C: 20, D: 27, E: 18
E (18): D: 19, F: 30
D (19)
C (20)
F (30)

Camino más corto

A → B → E → F
d(F) = 30

Respuesta

d(F) = 30

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