Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Una función ejecuta un bucle de n iteraciones y después, por separado, otro bucle de n iteraciones. ¿Cuál es su complejidad temporal?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué la búsqueda binaria no da un tiempo O(log n) en una lista simplemente enlazada?

  1. ALas comparaciones entre nodos de una lista enlazada son más lentas
  2. BLas listas enlazadas no pueden ordenarse
  3. CLlegar al elemento central lleva O(n) pasos, porque no hay acceso directo por índice
  4. DLa búsqueda binaria necesita al menos el doble de memoria
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es el coste de insertar un elemento en medio de un arreglo de n elementos?

  1. AO(n²), porque cada elemento se mueve n veces
  2. BO(log n), por la búsqueda binaria
  3. CO(n), porque los elementos posteriores deben desplazarse
  4. DO(1), porque se conoce el índice
4.Estructuras de datosDifícil

En una tabla hash con direccionamiento abierto, ¿por qué la eliminación suele hacerse con un marcador «lápida» (tombstone)?

  1. AVaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves
  2. BLas claves eliminadas deben conservarse para siempre por seguridad, así que las posiciones nunca pueden reutilizarse
  3. CLas lápidas aceleran el hashing
  4. DHace que la tabla quede ordenada
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 19 vértices y 26 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 19|E| = 26
k =
6.Teoría de grafosDifícil
14138101212915ABCDEFG

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 5; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(n)

Por qué esta es la respuesta

n + n = 2n, y los factores constantes se eliminan, así que la función es O(n).

Respuesta

C · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Llegar al elemento central lleva O(n) pasos, porque no hay acceso directo por índice

Por qué esta es la respuesta

La búsqueda binaria necesita acceso O(1) al elemento central; en una lista enlazada, llegar hasta él cuesta tiempo lineal, así que el total es O(n).

Respuesta

C · Llegar al elemento central lleva O(n) pasos, porque no hay acceso directo por índice
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · O(n), porque los elementos posteriores deben desplazarse

Por qué esta es la respuesta

Todos los elementos situados después del punto de inserción se mueven una posición a la derecha, lo que lleva un tiempo proporcional a n.

Respuesta

C · O(n), porque los elementos posteriores deben desplazarse
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Vaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves

Por qué esta es la respuesta

Si una posición eliminada quedara vacía, las búsquedas posteriores podrían detenerse antes de tiempo y no encontrar claves colocadas más adelante en la cadena de sondeo.

Respuesta

A · Vaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 8

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

19 − 1 = 18

Aristas que quitar

k = 26 − 18 = 8

Respuesta

k = 8
6.Teoría de grafos

Respuesta: G

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): C: 14
2. C (14): B: 27, E: 24
3. E (24): D: 36, F: 33, G: 29
4. B (27): D: 35, G: 28
5. G (28)
6. F (33)
7. D (35)

ronda 5

G

Respuesta

G

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