Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árbol y bosque: |E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en K_n: (n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L: (Mᴸ)_ij

Método

Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

En un array ordenado buscas dos elementos que sumen un valor objetivo moviendo un puntero desde cada extremo hacia dentro. ¿Cuál es la complejidad temporal?

AO(log n)
BO(n log n)
CO(n²)
DO(n)

2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre seleccionar el k-ésimo elemento más pequeño de un array no ordenado es correcta?

AQuickselect se ejecuta en O(n) esperado, y la mediana de medianas garantiza O(n) en el peor caso
BLa selección siempre necesita Ω(n log n) porque requiere ordenar
CQuickselect se ejecuta en O(log n) en el peor caso, porque solo hace recursión en un lado del pivote
DLa selección solo es posible en O(n²)

3.Estructuras de datosMedia

¿Cuántos nodos tiene un árbol binario perfecto de altura h, contando la altura en aristas?

Ah²
B2h + 1
C2^h+1 − 1
D2^h

4.Estructuras de datosDifícil

La estructura union-find (conjuntos disjuntos) con unión por rango y compresión de caminos tiene un coste amortizado por operación de:

AExactamente O(log n)
BO(n²)
CO(n)
DO(α(n)), la inversa de la función de Ackermann, que en la práctica es constante

5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K₄? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K₄

H =

6.Teoría de grafosDifícil

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9

W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Si la suma es demasiado pequeña, el puntero izquierdo avanza a la derecha; si es demasiado grande, el derecho avanza a la izquierda, así que hay como mucho n pasos.

Respuesta

D · O(n)

2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Quickselect se ejecuta en O(n) esperado, y la mediana de medianas garantiza O(n) en el peor caso

Por qué esta es la respuesta

El trabajo esperado de quickselect es n + n/2 + n/4 + ... = O(n) con pivotes aleatorios; elegir como pivote una mediana de medianas hace lineal el peor caso.

Respuesta

A · Quickselect se ejecuta en O(n) esperado, y la mediana de medianas garantiza O(n) en el peor caso

3.Estructuras de datos

Respuesta: C · 2^h+1 − 1

Por qué esta es la respuesta

Sumar 1 + 2 + 4 + ... + 2^h da 2^h+1 − 1; por ejemplo, la altura 2 da 7 nodos.

Respuesta

C · 2^h+1 − 1

4.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(α(n)), la inversa de la función de Ackermann, que en la práctica es constante

Por qué esta es la respuesta

Con ambas optimizaciones, las operaciones tardan O(α(n)) en tiempo amortizado; α(n) ≤ 4 para cualquier n realista.

Respuesta

D · O(α(n)), la inversa de la función de Ackermann, que en la práctica es constante

5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 3

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; K_n tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Respuesta

H = 3

6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 51

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

AC (1): tomar

GB (5): tomar

GE (7): tomar

GC (10): tomar

CE (11): descartar, cierra un ciclo

AB (12): descartar, cierra un ciclo

EF (13): tomar

BD (15): tomar

Peso total

W = 1 + 5 + 7 + 10 + 13 + 15 = 51

Respuesta

W = 51

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