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1Fórmulas y métodos
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
2Problemas de práctica
1.Algoritmos y complejidadMedia
¿Cuál es la complejidad temporal de multiplicar dos matrices n × n con el triple bucle estándar?
AO(n²)
BO(n² log n)
CO(n³)
DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil
¿Por qué la búsqueda binaria no da un tiempo O(log n) en una lista simplemente enlazada?
ALlegar al elemento central lleva O(n) pasos, porque no hay acceso directo por índice
BLas listas enlazadas no pueden ordenarse
CLa búsqueda binaria necesita al menos el doble de memoria
DLas comparaciones entre nodos de una lista enlazada son más lentas
3.Estructuras de datosMedia
Se implementa una cola con dos pilas: push en una pila «entrada» y pop de una pila «salida», que se rellena desde «entrada» cuando está vacía. ¿Cuál es el coste amortizado por operación?
AO(1)
BO(n²)
CO(log n)
DO(n)
4.Estructuras de datosDifícil
En un búfer circular, front == rear puede significar que está vacío o que está lleno. ¿Cuál es una forma habitual de distinguirlo?
AGuardar front y rear en la misma variable
BVaciar siempre el búfer cuando front es igual a rear, de modo que el estado sea vacío
CHacer que el tamaño del búfer sea una potencia de dos
DMantener un contador de elementos aparte, o dejar siempre una posición sin usar
5.Teoría de grafosMedia
Un árbol tiene 3 vértices de grado 3, 3 vértices de grado 4, 3 vértices de grado 5, 4 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?
3 × deg 33 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice A. Haz clic en la arista que añade como arista número 6.
inicio: Ak = 6
1arista AB
2arista AC
3arista BC
4arista BD
5arista CE
6arista DE
7arista DF
8arista GB
9arista GC
10arista GD
11arista GE
3Disoluciones
1.Algoritmos y complejidad
Respuesta: C · O(n³)
Por qué esta es la respuesta
Hay n² entradas y cada una necesita n multiplicaciones, lo que da n³ operaciones.
Respuesta
C · O(n³)
2.Algoritmos y complejidad
Respuesta: A · Llegar al elemento central lleva O(n) pasos, porque no hay acceso directo por índice
Por qué esta es la respuesta
La búsqueda binaria necesita acceso O(1) al elemento central; en una lista enlazada, llegar hasta él cuesta tiempo lineal, así que el total es O(n).
Respuesta
A · Llegar al elemento central lleva O(n) pasos, porque no hay acceso directo por índice
3.Estructuras de datos
Respuesta: A · O(1)
Por qué esta es la respuesta
Cada elemento se apila y se desapila como máximo dos veces en total, así que, aunque un rellenado puede costar O(n), la media a lo largo de una secuencia es O(1).
Respuesta
A · O(1)
4.Estructuras de datos
Respuesta: D · Mantener un contador de elementos aparte, o dejar siempre una posición sin usar
Por qué esta es la respuesta
Con un contador, vacío significa count = 0 y lleno significa count = capacidad; con una posición vacía, lleno se define como (rear + 1) mod n == front.
Respuesta
D · Mantener un contador de elementos aparte, o dejar siempre una posición sin usar
5.Teoría de grafos
Respuesta: L = 20
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Lema del apretón de manos para un árbol
L + 44 = 2(L + 13) − 2
L = 20
Respuesta
L = 20
Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.
6.Teoría de grafos
Respuesta: arista DF
Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.