Ecuaciones diferenciales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Derivadas

Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Métodos numéricos

Bisección: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolación lineal: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota del error del trapecio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.

2Problemas de práctica

1.Ecuaciones diferencialesMedia

Resuelve y″ + 5y′ + 6y = 0 con y(0) = 3 e y′(0) = -4. Halla y(0,5).

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 3y′(0) = -4

y(0.5) =

2.Ecuaciones diferencialesDifícil

Un sistema obedece y″ + 4y′ + 8y = 80 para t ≥ 0, partiendo del reposo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Halla y(0,25); ángulos en radianes.

y″ + 4y′ + 8y = 80y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

3.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₁³ 5/x dx.

f(x) = 5/x[1, 3]

I =

4.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región encerrada entre y = 0,5x² e y = 3x.

y = 0,5x²y = 3x

A =

5.DerivadasMedia

Sea f(x) = (4x − 3)³. Calcula f′(1).

f(x) = (4x − 3)³x = 1

f′(1) =

6.DerivadasDifícil

La recta tangente a f(x) = −x² + 5x − 6 en x = 1 corta el eje y en y = b. Calcula b.

f(x) = −x² + 5x − 6x = 1

b =

7.Métodos numéricosMedia

Aproxima ∫₀¹ 1/(1 + x³) dx con la regla de Simpson usando n = 4 franjas. Da S.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 4

S =

8.Métodos numéricosDifícil

Da un paso del método clásico de Runge–Kutta (RK4) con h = 0,5 para y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5. Halla y₁ ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,5

y₁ =

3Disoluciones

1.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: y(0.5) = 1,393

Ecuaciones lineales de segundo orden: para y″ + b·y′ + c·y = 0 prueba y = e^rt: esto da la ecuación característica r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ dan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (sobreamortiguado); una raíz doble r da y = (A + Bt)·e^rt (amortiguamiento crítico); las raíces complejas −α ± jω dan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (subamortiguado, oscilante). Los valores iniciales y(0) e y′(0) fijan A y B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n es la frecuencia natural y ζ el factor de amortiguamiento: con ζ < 1 hay oscilación. Con una entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solución es el valor estacionario K más la respuesta libre.

Raíces características

(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3

Constantes a partir de los valores iniciales

A + B = 3, −2A − 3B = -4

A = 5, B = −2

Evalúa

y(0,5) = 5·e⁻¹ + (−2)·e^−1,5 = 1,393

Respuesta

y(0,5) = 1,393

2.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: y(0.25) = 1,769

Valor estacionario y raíces

y_ss = 10, r = −2 ± 2j

Constantes a partir de los valores iniciales

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −2A + 2B = 0 → B = −10

Evalúa

y(0,25) = 10·(1 − e^−0,5(cos 0,5 + 1·sin 0,5)) = 1,769

Respuesta

y(0,25) = 1,769

3.Integrales

Respuesta: I = 5,493

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = 5·ln x

Evaluar en los límites

I = 5·(ln 3 − ln 1) = 5·ln 3 = 5,493

Respuesta

I = 5,493

4.Integrales

Respuesta: A = 18

Puntos de corte

0,5x² = 3x → x = 0, x = 6

Integrar superior menos inferior

A = [1,5x² − 0,1667x³]₀⁶ = 18

Respuesta

A = 18

5.Derivadas

Respuesta: f′(1) = 12

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla de la cadena

f′(x) = 3·(4x − 3)²·4

Sustituir

f′(1) = 3·1²·4 = 12

Respuesta

f′(1) = 12

6.Derivadas

Respuesta: b = −5

Punto y pendiente

f(1) = −2

f′(x) = −2x + 5 → f′(1) = 3

Recta tangente en x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − 3·1 = −5

Respuesta

b = −5

7.Métodos numéricos

Respuesta: S = 0,8358

Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.

Nodos y valores

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,984615 + 2·0,888889 + 4·0,703297 + 0,5 = 10,029426

Regla de Simpson

S = (0,25/3)·10,029426 = 0,8358

Respuesta

S = 0,8358

Esta integral no tiene primitiva elemental, que es justo cuando hace falta una regla numérica.

8.Métodos numéricos

Respuesta: y₁ = 1,108

Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.

Cuatro pendientes

k₁ = f(0, 0,5) = 1

k₂ = f(0,25, 0,75) = 1,186403

k₃ = f(0,25, 0,796601) = 1,197836

k₄ = f(0,5, 1,098918) = 1,522226

Combina

y₁ = 0,5 + (0,5/6)(1 + 2·1,186403 + 2·1,197836 + 1,522226) = 1,108

Respuesta

y₁ = 1,108

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