Dibuja un diagrama de Venn y decide región por región qué pertenece a la expresión de conjuntos.
En los problemas de recuento, rellena las regiones desde el centro hacia fuera: primero todos los conjuntos, luego los pares, después los conjuntos sueltos y por último el exterior.
Usa la inclusión–exclusión como comprobación: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
En una relación, comprueba cada propiedad en todos los pares y da un contraejemplo cuando falle.
En una función, cuenta las flechas que llegan a cada elemento de B: como mucho una significa inyectiva, al menos una, sobreyectiva.
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
Teoría de números y aritmética modular
División con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo común múltiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruencia lineal
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Función φ de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduce primero cada número módulo n; los restos están entre 0 y n − 1.
Para un mcd, divide repetidamente con el algoritmo de Euclides; el último resto distinto de cero es el mcd.
Para un inverso, aplica el algoritmo extendido y quédate con el coeficiente de a; suma n si es negativo.
Resuelve a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combina dos congruencias escribiendo x = r₁ + m₁k.
Para las potencias, escribe el exponente en binario y eleva al cuadrado repetidamente; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Problemas de práctica
1.Lógica proposicional y demostracionesMedia
Quieres demostrar r → (p ∨ q) por reducción al absurdo. ¿Qué enunciado supones al principio? Haz clic en él.
r → (p ∨ q)
1¬r ∧ (p ∨ q)
2¬r → ¬(p ∨ q)
3¬r ∧ ¬(p ∨ q)
4r ∧ ¬(p ∨ q)
2.Lógica proposicional y demostracionesDifícil
¿Qué enunciado es equivalente a ¬∀x (P(x) ∨ Q(x)), con la negación desplazada hasta el interior? Haz clic en él.
¬∀x (P(x) ∨ Q(x))
1∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
2∀x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
3∀x (¬P(x) ∨ ¬Q(x))
4∃x (¬P(x) ∨ ¬Q(x))
3.Conjuntos, relaciones y funcionesMedia
Una encuesta a 56 personas revela que 23 tienen un portátil (L), 33 tienen una tableta (T) y 13 tienen ambos. ¿Cuántos están en al menos uno de los dos conjuntos?
|U| = 56|L| = 23|T| = 33|L ∩ T| = 13
|L ∪ T| =
4.Conjuntos, relaciones y funcionesDifícil
Las funciones f y g en {1, 2, 3, 4, 5} vienen dadas por sus tablas. Halla (f ∘ g)(5).
¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K5? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.
K5
H =
6.Teoría de grafosDifícil
¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 3 empiezan y terminan en D? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.
M = matriz de adyacenciaL = 3
N =
7.Teoría de números y aritmética modularMedia
Halla el inverso de 3 módulo 41: el número x con 0 < x < 41 y 3·x ≡ 1 (mod 41).
a = 3n = 41
3−1 mod 41 =
8.Teoría de números y aritmética modularDifícil
Resuelve 34x ≡ 24 (mod 76). Da la menor solución positiva x.
34x ≡ 24 (mod 76)
x =
3Disoluciones
1.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: r ∧ ¬(p ∨ q)
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Partes de la implicación
a = r, b = p ∨ q
Negación de la implicación
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = r ∧ ¬(p ∨ q)
Respuesta
r ∧ ¬(p ∨ q)
Si la suposición lleva a una contradicción, la implicación tiene que ser verdadera.
2.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: ∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
Cuantificadores y argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) y ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Desplaza la negación hacia dentro, intercambia cada cuantificador que atraviesa y niega la fórmula interior con las leyes proposicionales, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argumento es válido cuando la conclusión vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1. Una sola fila con premisas verdaderas y conclusión falsa es un contraejemplo y demuestra que el argumento no es válido.
Desplaza la negación hacia dentro
¬∀x (P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
Respuesta
∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
Las otras opciones dejan un cuantificador sin cambiar, cambian el orden de los cuantificadores o niegan mal la fórmula interior.
3.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: |L ∪ T| = 43
Conjuntos y diagramas de Venn: A ∪ B contiene los elementos que están en A o en B (o en ambos), A ∩ B los elementos que están en ambos, A − B los elementos de A que no están en B, y el complemento A′ todo lo de U que no está en A. En un diagrama de Venn toda expresión de conjuntos es una unión de regiones, así que cuéntala región por región. Inclusión–exclusión: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, y |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Regiones
L ∩ T: 13
L − T: 23 − 13 = 10
T − L: 33 − 13 = 20
(L ∪ T)′: 56 − (10 + 20 + 13) = 13
Respuesta
|L ∪ T| = 43
Respuesta
|L ∪ T| = 43
4.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: (f ∘ g)(5) = 3
Funciones y recuento: una función f: A → B da a cada elemento de A exactamente una imagen en B. f es inyectiva (uno a uno) cuando elementos distintos tienen imágenes distintas, sobreyectiva cuando todo elemento de B es una imagen, y biyectiva cuando se cumplen ambas. Con |A| = m y |B| = n hay nᵐ funciones, n!/(n − m)! inyectivas (m ≤ n) y, por inclusión–exclusión, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobreyectivas. |𝒫(A)| = 2ᵐ y |A × B| = m·n.
Función interior
g(5) = 5
Función exterior
f(5) = 3
(f ∘ g)(5) = 3
Respuesta
(f ∘ g)(5) = 3
5.Teoría de grafos
Respuesta: H = 12
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Contar
H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12
Respuesta
H = 12
6.Teoría de grafos
Respuesta: N = 2
Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.
Matriz de adyacencia
A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0
Un paso más
(M³)DD = 1·0 + 1·1 + 1·0 + 2·0 + 1·1 = 2
Respuesta
N = 2
7.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: 3−1 mod 41 = 14
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides extendido
Cada resto r se escribe como r ≡ t·3 (mod 41).
r = 41, t = 0
r = 3, q = 13, t = 1
r = 2, q = 1, t = −13
r = 1, q = 2, t = 14
Inversa
1 ≡ 14·3 (mod 41)
x = 14
comprobación: 3·14 = 42 = 1·41 + 1
Respuesta
3−1 mod 41 = 14
8.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: x = 32
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).