Dibuja un diagrama de Venn y decide región por región qué pertenece a la expresión de conjuntos.
En los problemas de recuento, rellena las regiones desde el centro hacia fuera: primero todos los conjuntos, luego los pares, después los conjuntos sueltos y por último el exterior.
Usa la inclusión–exclusión como comprobación: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
En una relación, comprueba cada propiedad en todos los pares y da un contraejemplo cuando falle.
En una función, cuenta las flechas que llegan a cada elemento de B: como mucho una significa inyectiva, al menos una, sobreyectiva.
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
Teoría de números y aritmética modular
División con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo común múltiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruencia lineal
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Función φ de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduce primero cada número módulo n; los restos están entre 0 y n − 1.
Para un mcd, divide repetidamente con el algoritmo de Euclides; el último resto distinto de cero es el mcd.
Para un inverso, aplica el algoritmo extendido y quédate con el coeficiente de a; suma n si es negativo.
Resuelve a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combina dos congruencias escribiendo x = r₁ + m₁k.
Para las potencias, escribe el exponente en binario y eleva al cuadrado repetidamente; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Problemas de práctica
1.Lógica proposicional y demostracionesMedia
Quieres demostrar ¬r → (q ∧ p) por contrarrecíproca. ¿Qué implicación demuestras en su lugar? Haz clic en ella.
¬r → (q ∧ p)
1¬¬r → ¬(q ∧ p)
2¬(q ∧ p) → ¬¬r
3(q ∧ p) → ¬r
4¬r ∧ ¬(q ∧ p)
2.Lógica proposicional y demostracionesDifícil
¿Qué enunciado es equivalente a ¬∃x ∀y R(x, y), con la negación desplazada hasta el interior? Haz clic en él.
¬∃x ∀y R(x, y)
1∀x ∃y ¬R(x, y)
2∃x ∃y ¬R(x, y)
3∃x ∀y ¬R(x, y)
4∀x ∀y ¬R(x, y)
3.Conjuntos, relaciones y funcionesMedia
R = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 2)} es una relación en {1, 2, 3}. ¿Cuál es el menor número k de pares ordenados que hay que añadir a R para hacerla reflexiva?
R = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 2)}
k =
4.Conjuntos, relaciones y funcionesDifícil
Una relación de equivalencia R en {1, …, 8} tiene las clases {2, 3, 6, 7}, {4}, {1, 5, 8}. ¿Cuántos pares ordenados contiene R? Llama al número |R|.
{2, 3, 6, 7}{4}{1, 5, 8}
|R| =
5.Teoría de grafosMedia
¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.
|V| = 6|E| = 8
1Circuito euleriano
2Camino euleriano, sin circuito
3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.
inicio: Afin: F
d(F) =
7.Teoría de números y aritmética modularMedia
Halla el menor entero positivo x con x ≡ 4 (mod 6) y x ≡ 1 (mod 11).
x ≡ 4 (mod 6)x ≡ 1 (mod 11)
x =
8.Teoría de números y aritmética modularDifícil
Resuelve 12x ≡ 80 (mod 86). Da la menor solución positiva x.
12x ≡ 80 (mod 86)
x =
3Disoluciones
1.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: ¬(q ∧ p) → ¬¬r
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Partes de la implicación
a = ¬r, b = q ∧ p
Contrarrecíproca
¬b → ¬a = ¬(q ∧ p) → ¬¬r
Respuesta
¬(q ∧ p) → ¬¬r
La contrarrecíproca es equivalente al enunciado original, así que demostrarla demuestra el enunciado.
2.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: ∀x ∃y ¬R(x, y)
Cuantificadores y argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) y ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Desplaza la negación hacia dentro, intercambia cada cuantificador que atraviesa y niega la fórmula interior con las leyes proposicionales, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argumento es válido cuando la conclusión vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1. Una sola fila con premisas verdaderas y conclusión falsa es un contraejemplo y demuestra que el argumento no es válido.
Desplaza la negación hacia dentro
¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)
Respuesta
∀x ∃y ¬R(x, y)
Las otras opciones dejan un cuantificador sin cambiar, cambian el orden de los cuantificadores o niegan mal la fórmula interior.
3.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: k = 2
Relaciones: una relación R en un conjunto X es un conjunto de pares ordenados (x, y). R es reflexiva cuando (x, x) ∈ R para todo x de X; simétrica cuando (x, y) ∈ R siempre va acompañado de (y, x) ∈ R; antisimétrica cuando (x, y) y (y, x) están ambos en R solo si x = y; y transitiva cuando (x, y) y (y, z) en R obligan a que (x, z) ∈ R. Una relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva, y divide X en clases disjuntas.
Pares que añadir
{(1, 1), (3, 3)}
Contar
k = 2
Respuesta
k = 2
4.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: |R| = 26
Relaciones: una relación R en un conjunto X es un conjunto de pares ordenados (x, y). R es reflexiva cuando (x, x) ∈ R para todo x de X; simétrica cuando (x, y) ∈ R siempre va acompañado de (y, x) ∈ R; antisimétrica cuando (x, y) y (y, x) están ambos en R solo si x = y; y transitiva cuando (x, y) y (y, z) en R obligan a que (x, z) ∈ R. Una relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva, y divide X en clases disjuntas.
Pares por clase
|R| = 4² + 1² + 3² = 26
Respuesta
|R| = 26
5.Teoría de grafos
Respuesta: Camino euleriano, sin circuito
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.
6.Teoría de grafos
Respuesta: d(F) = 17
Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.
Dijkstra ronda a ronda
Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.
A (0): B: 6, C: 1
C (1): E: 12, G: 9
B (6): D: 14
G (9)
E (12): F: 27
D (14): F: 17
F (17)
Camino más corto
A → B → D → F
d(F) = 17
Respuesta
d(F) = 17
7.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: x = 34
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Primera congruencia
x = 4 + 6k
Segunda congruencia
4 + 6k ≡ 1 (mod 11) → 6k ≡ 8 (mod 11)
k ≡ 2·8 ≡ 5 (mod 11)
Resultado
x = 4 + 6·5 = 34
x = 34
comprobación: 34 mod 6 = 4, 34 mod 11 = 1
Respuesta
x = 34
8.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: x = 21
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).