Dibuja un diagrama de Venn y decide región por región qué pertenece a la expresión de conjuntos.
En los problemas de recuento, rellena las regiones desde el centro hacia fuera: primero todos los conjuntos, luego los pares, después los conjuntos sueltos y por último el exterior.
Usa la inclusión–exclusión como comprobación: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
En una relación, comprueba cada propiedad en todos los pares y da un contraejemplo cuando falle.
En una función, cuenta las flechas que llegan a cada elemento de B: como mucho una significa inyectiva, al menos una, sobreyectiva.
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
Teoría de números y aritmética modular
División con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo común múltiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruencia lineal
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Función φ de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduce primero cada número módulo n; los restos están entre 0 y n − 1.
Para un mcd, divide repetidamente con el algoritmo de Euclides; el último resto distinto de cero es el mcd.
Para un inverso, aplica el algoritmo extendido y quédate con el coeficiente de a; suma n si es negativo.
Resuelve a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combina dos congruencias escribiendo x = r₁ + m₁k.
Para las potencias, escribe el exponente en binario y eleva al cuadrado repetidamente; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Problemas de práctica
1.Lógica proposicional y demostracionesMedia
¿Qué fórmula es lógicamente equivalente a ¬(q ∨ p)? Haz clic en ella.
¬(q ∨ p)
1q ∨ ¬p
2¬q ∧ ¬p
3¬q ∧ p
4¬q ∨ ¬p
2.Lógica proposicional y demostracionesDifícil
Se dan las premisas p → q; p. ¿Qué conclusión se sigue de ellas? Haz clic en ella.
p → qp
1q
2¬p
3¬q
4p ∧ ¬q
3.Conjuntos, relaciones y funcionesMedia
Cada número del diagrama de Venn es el número de elementos de esa región. Halla |(A′ − B) ∩ (A ∪ B′)|.
|U| = 57
|(A′ − B) ∩ (A ∪ B′)| =
4.Conjuntos, relaciones y funcionesDifícil
La biyección f en {1, 2, 3, 4, 5} viene dada por su tabla. Halla f−1(1).
f: 1 ↦ 5, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 1, 5 ↦ 4
f−1(1) =
5.Teoría de grafosMedia
Un árbol tiene 3 vértices de grado 3, 3 vértices de grado 4, 2 vértices de grado 5, 2 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?
3 × deg 33 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
¿Cuántos recorridos de longitud 3 van de A a B? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.
M = matriz de adyacenciaL = 3
N =
7.Teoría de números y aritmética modularMedia
Halla el menor entero positivo x con x ≡ 2 (mod 5) y x ≡ 11 (mod 13).
x ≡ 2 (mod 5)x ≡ 11 (mod 13)
x =
8.Teoría de números y aritmética modularDifícil
Usa el cuadrado repetido para hallar 41115 mod 55.
a = 41k = 115n = 55
41115 mod 55 =
3Disoluciones
1.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: ¬q ∧ ¬p
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La ley
De Morgan: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b. El ∨ se convierte en ∧ y se niegan ambas partes.
¬(q ∨ p) ≡ ¬q ∧ ¬p
Comprueba con la tabla de verdad
p = 1, q = 1: 0 | 1 0 0 0
p = 1, q = 0: 0 | 0 0 1 1
p = 0, q = 1: 0 | 1 0 0 1
p = 0, q = 0: 1 | 1 1 0 1
Respuesta
¬q ∧ ¬p
Las columnas después de la barra son las opciones, en el orden mostrado.
2.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: q
Cuantificadores y argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) y ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Desplaza la negación hacia dentro, intercambia cada cuantificador que atraviesa y niega la fórmula interior con las leyes proposicionales, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argumento es válido cuando la conclusión vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1. Una sola fila con premisas verdaderas y conclusión falsa es un contraejemplo y demuestra que el argumento no es válido.
Filas con todas las premisas verdaderas
p = 1, q = 1: q = 1, ¬p = 0, ¬q = 0, p ∧ ¬q = 0
Conclusión
q (modus ponens)
Respuesta
q
3.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: |(A′ − B) ∩ (A ∪ B′)| = 20
Conjuntos y diagramas de Venn: A ∪ B contiene los elementos que están en A o en B (o en ambos), A ∩ B los elementos que están en ambos, A − B los elementos de A que no están en B, y el complemento A′ todo lo de U que no está en A. En un diagrama de Venn toda expresión de conjuntos es una unión de regiones, así que cuéntala región por región. Inclusión–exclusión: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, y |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Regiones de la expresión
A′ ∩ B′ ∩ C′: 11
A′ ∩ B′ ∩ C: 9
Suma
|(A′ − B) ∩ (A ∪ B′)| = 11 + 9 = 20
Respuesta
|(A′ − B) ∩ (A ∪ B′)| = 20
4.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: f−1(1) = 4
Funciones y recuento: una función f: A → B da a cada elemento de A exactamente una imagen en B. f es inyectiva (uno a uno) cuando elementos distintos tienen imágenes distintas, sobreyectiva cuando todo elemento de B es una imagen, y biyectiva cuando se cumplen ambas. Con |A| = m y |B| = n hay nᵐ funciones, n!/(n − m)! inyectivas (m ≤ n) y, por inclusión–exclusión, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobreyectivas. |𝒫(A)| = 2ᵐ y |A × B| = m·n.
Lee la tabla al revés
f(4) = 1 → f−1(1) = 4
Respuesta
f−1(1) = 4
5.Teoría de grafos
Respuesta: L = 17
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Lema del apretón de manos para un árbol
L + 35 = 2(L + 10) − 2
L = 17
Respuesta
L = 17
Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.
6.Teoría de grafos
Respuesta: N = 1
Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.
Matriz de adyacencia
A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0
Un paso más
(M³)AB = 1·0 + 1·0 + 0·1 + 0·1 + 1·1 = 1
Respuesta
N = 1
7.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: x = 37
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Primera congruencia
x = 2 + 5k
Segunda congruencia
2 + 5k ≡ 11 (mod 13) → 5k ≡ 9 (mod 13)
k ≡ 8·9 ≡ 7 (mod 13)
Resultado
x = 2 + 5·7 = 37
x = 37
comprobación: 37 mod 5 = 2, 37 mod 13 = 11
Respuesta
x = 37
8.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: 41115 mod 55 = 21
Potencias modulares y RSA: calcula aᵏ mod n por cuadrado repetido: escribe k en binario, eleva al cuadrado, reduce después de cada paso y multiplica las potencias cuyo bit es 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para un primo p que no divide a a, así que el exponente se puede reducir módulo p − 1. RSA: elige los primos p y q, n = p·q y φ(n) = (p − 1)(q − 1); el exponente público e es coprimo con φ(n), y el exponente privado es d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n y descifra con m = cᵈ mod n.