Dibuja un diagrama de Venn y decide región por región qué pertenece a la expresión de conjuntos.
En los problemas de recuento, rellena las regiones desde el centro hacia fuera: primero todos los conjuntos, luego los pares, después los conjuntos sueltos y por último el exterior.
Usa la inclusión–exclusión como comprobación: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
En una relación, comprueba cada propiedad en todos los pares y da un contraejemplo cuando falle.
En una función, cuenta las flechas que llegan a cada elemento de B: como mucho una significa inyectiva, al menos una, sobreyectiva.
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
Teoría de números y aritmética modular
División con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo común múltiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruencia lineal
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Función φ de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduce primero cada número módulo n; los restos están entre 0 y n − 1.
Para un mcd, divide repetidamente con el algoritmo de Euclides; el último resto distinto de cero es el mcd.
Para un inverso, aplica el algoritmo extendido y quédate con el coeficiente de a; suma n si es negativo.
Resuelve a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combina dos congruencias escribiendo x = r₁ + m₁k.
Para las potencias, escribe el exponente en binario y eleva al cuadrado repetidamente; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Problemas de práctica
1.Lógica proposicional y demostracionesMedia
¿Es ((a → c) ∧ c) → a una tautología, una contradicción o una contingencia? Haz clic en tu respuesta.
((a → c) ∧ c) → a
1tautología
2contradicción
3contingencia
2.Lógica proposicional y demostracionesDifícil
¿Qué enunciado es equivalente a ¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)), con la negación desplazada hasta el interior? Haz clic en él.
¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y))
1∃x (F(x) → ∀y ¬R(x, y))
2∀x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
3∃x (¬F(x) ∧ ∃y R(x, y))
4∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
3.Conjuntos, relaciones y funcionesMedia
Una encuesta a 58 personas revela que 27 tienen un portátil (L), 23 una tableta (T) y 16 un reloj inteligente (W). 14 tienen L y T, 4 tienen L y W, 3 tienen T y W, y 2 tienen los tres. ¿Cuántos están en exactamente uno de los tres conjuntos? Llama al número n.
|U| = 58
n =
4.Conjuntos, relaciones y funcionesDifícil
¿Cuántas funciones inyectivas (uno a uno) f: A → B hay si |A| = 2 y |B| = 3? Llama al número N.
|A| = 2|B| = 3
N =
5.Teoría de grafosMedia
Un árbol tiene 4 vértices de grado 3, 3 vértices de grado 5, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?
4 × deg 33 × deg 5
L =
6.Teoría de grafosDifícil
Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.
|V| = 5|E| = 7
W =
7.Teoría de números y aritmética modularMedia
Halla el inverso de 13 módulo 31: el número x con 0 < x < 31 y 13·x ≡ 1 (mod 31).
a = 13n = 31
13−1 mod 31 =
8.Teoría de números y aritmética modularDifícil
Resuelve 62x ≡ 12 (mod 86). Da la menor solución positiva x.
62x ≡ 12 (mod 86)
x =
3Disoluciones
1.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: contingencia
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Tabla de verdad fila por fila
a = 1, c = 1: a → c = 1, (a → c) ∧ c = 1, ((a → c) ∧ c) → a = 1
a = 1, c = 0: a → c = 0, (a → c) ∧ c = 0, ((a → c) ∧ c) → a = 1
a = 0, c = 1: a → c = 1, (a → c) ∧ c = 1, ((a → c) ∧ c) → a = 0
a = 0, c = 0: a → c = 1, (a → c) ∧ c = 0, ((a → c) ∧ c) → a = 1
Clasifica
((a → c) ∧ c) → a: 1, 1, 0, 1
1 de cada 3 de las 4 filas, 0 en las demás: una contingencia.
Respuesta
contingencia
2.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
Cuantificadores y argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) y ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Desplaza la negación hacia dentro, intercambia cada cuantificador que atraviesa y niega la fórmula interior con las leyes proposicionales, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argumento es válido cuando la conclusión vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1. Una sola fila con premisas verdaderas y conclusión falsa es un contraejemplo y demuestra que el argumento no es válido.
Desplaza la negación hacia dentro
¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
Respuesta
∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
Las otras opciones dejan un cuantificador sin cambiar, cambian el orden de los cuantificadores o niegan mal la fórmula interior.
3.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: n = 30
Conjuntos y diagramas de Venn: A ∪ B contiene los elementos que están en A o en B (o en ambos), A ∩ B los elementos que están en ambos, A − B los elementos de A que no están en B, y el complemento A′ todo lo de U que no está en A. En un diagrama de Venn toda expresión de conjuntos es una unión de regiones, así que cuéntala región por región. Inclusión–exclusión: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, y |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Centro y pares
L ∩ T ∩ W: 2
L ∩ T solo: 14 − 2 = 12
L ∩ W solo: 4 − 2 = 2
T ∩ W solo: 3 − 2 = 1
Conjuntos sueltos
L solo: 27 − 12 − 2 − 2 = 11
T solo: 23 − 12 − 1 − 2 = 8
W solo: 16 − 2 − 1 − 2 = 11
Respuesta
11 + 8 + 11 = 30
Respuesta
n = 30
4.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: N = 6
Funciones y recuento: una función f: A → B da a cada elemento de A exactamente una imagen en B. f es inyectiva (uno a uno) cuando elementos distintos tienen imágenes distintas, sobreyectiva cuando todo elemento de B es una imagen, y biyectiva cuando se cumplen ambas. Con |A| = m y |B| = n hay nᵐ funciones, n!/(n − m)! inyectivas (m ≤ n) y, por inclusión–exclusión, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobreyectivas. |𝒫(A)| = 2ᵐ y |A × B| = m·n.
Contar
N = 3!/(3 − 2)! = 6
Respuesta
N = 6
5.Teoría de grafos
Respuesta: L = 15
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Lema del apretón de manos para un árbol
L + 27 = 2(L + 7) − 2
L = 15
Respuesta
L = 15
Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.
6.Teoría de grafos
Respuesta: W = 30
Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.
Algoritmo de Kruskal
CE (3): tomar
DE (6): tomar
BD (8): tomar
BC (12): descartar, cierra un ciclo
AB (13): tomar
Peso total
W = 3 + 6 + 8 + 13 = 30
Respuesta
W = 30
7.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: 13−1 mod 31 = 12
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides extendido
Cada resto r se escribe como r ≡ t·13 (mod 31).
r = 31, t = 0
r = 13, q = 2, t = 1
r = 5, q = 2, t = −2
r = 3, q = 1, t = 5
r = 2, q = 1, t = −7
r = 1, q = 2, t = 12
Inversa
1 ≡ 12·13 (mod 31)
x = 12
comprobación: 13·12 = 156 = 5·31 + 1
Respuesta
13−1 mod 31 = 12
8.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: x = 21
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).