Dibuja un diagrama de Venn y decide región por región qué pertenece a la expresión de conjuntos.
En los problemas de recuento, rellena las regiones desde el centro hacia fuera: primero todos los conjuntos, luego los pares, después los conjuntos sueltos y por último el exterior.
Usa la inclusión–exclusión como comprobación: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
En una relación, comprueba cada propiedad en todos los pares y da un contraejemplo cuando falle.
En una función, cuenta las flechas que llegan a cada elemento de B: como mucho una significa inyectiva, al menos una, sobreyectiva.
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
Teoría de números y aritmética modular
División con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo común múltiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruencia lineal
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Función φ de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduce primero cada número módulo n; los restos están entre 0 y n − 1.
Para un mcd, divide repetidamente con el algoritmo de Euclides; el último resto distinto de cero es el mcd.
Para un inverso, aplica el algoritmo extendido y quédate con el coeficiente de a; suma n si es negativo.
Resuelve a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combina dos congruencias escribiendo x = r₁ + m₁k.
Para las potencias, escribe el exponente en binario y eleva al cuadrado repetidamente; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Problemas de práctica
1.Lógica proposicional y demostracionesMedia
¿Es ¬(b ∨ ¬b) una tautología, una contradicción o una contingencia? Haz clic en tu respuesta.
¬(b ∨ ¬b)
1tautología
2contradicción
3contingencia
2.Lógica proposicional y demostracionesDifícil
El argumento con premisas b → (c ∨ a); b y conclusión c no es válido. Haz clic en la fila de la tabla de verdad que es un contraejemplo.
b → (c ∨ a)b∴ c
1a = 1, b = 1, c = 1
2a = 1, b = 1, c = 0
3a = 1, b = 0, c = 1
4a = 1, b = 0, c = 0
5a = 0, b = 1, c = 1
6a = 0, b = 1, c = 0
7a = 0, b = 0, c = 1
8a = 0, b = 0, c = 0
3.Conjuntos, relaciones y funcionesMedia
R = {(1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} es una relación en {1, 2, 3, 4}. ¿Cuál es el menor número k de pares ordenados que hay que añadir a R para hacerla simétrica?
¿Cuántas relaciones antisimétricas hay en un conjunto de 4 elementos? Llama al número N.
|X| = 4
N =
5.Teoría de grafosMedia
¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K4? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.
K4
H =
6.Teoría de grafosDifícil
Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.
|V| = 7|E| = 9
W =
7.Teoría de números y aritmética modularMedia
Halla el inverso de 19 módulo 21: el número x con 0 < x < 21 y 19·x ≡ 1 (mod 21).
a = 19n = 21
19−1 mod 21 =
8.Teoría de números y aritmética modularDifícil
Una clave RSA usa p = 13, q = 17 y e = 5. Descifra el texto cifrado c = 110: halla el mensaje m.
p = 13q = 17e = 5c = 110
m =
3Disoluciones
1.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: contradicción
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Tabla de verdad fila por fila
b = 1: ¬b = 0, b ∨ ¬b = 1, ¬(b ∨ ¬b) = 0
b = 0: ¬b = 1, b ∨ ¬b = 1, ¬(b ∨ ¬b) = 0
Clasifica
¬(b ∨ ¬b): 0, 0
0 en todas las filas: una contradicción.
Respuesta
contradicción
2.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: a = 1, b = 1, c = 0
Cuantificadores y argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) y ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Desplaza la negación hacia dentro, intercambia cada cuantificador que atraviesa y niega la fórmula interior con las leyes proposicionales, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argumento es válido cuando la conclusión vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1. Una sola fila con premisas verdaderas y conclusión falsa es un contraejemplo y demuestra que el argumento no es válido.
Premisas y conclusión fila por fila
a = 1, b = 1, c = 1: 1 1 | 1
a = 1, b = 1, c = 0: 1 1 | 0
a = 1, b = 0, c = 1: 1 0 | 1
a = 1, b = 0, c = 0: 1 0 | 0
a = 0, b = 1, c = 1: 1 1 | 1
a = 0, b = 1, c = 0: 0 1 | 0
a = 0, b = 0, c = 1: 1 0 | 1
a = 0, b = 0, c = 0: 1 0 | 0
Contraejemplo
a = 1, b = 1, c = 0
Respuesta
a = 1, b = 1, c = 0
Un argumento con esta forma parece una regla válida, pero una sola fila basta para demostrar que no lo es.
3.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: k = 1
Relaciones: una relación R en un conjunto X es un conjunto de pares ordenados (x, y). R es reflexiva cuando (x, x) ∈ R para todo x de X; simétrica cuando (x, y) ∈ R siempre va acompañado de (y, x) ∈ R; antisimétrica cuando (x, y) y (y, x) están ambos en R solo si x = y; y transitiva cuando (x, y) y (y, z) en R obligan a que (x, z) ∈ R. Una relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva, y divide X en clases disjuntas.
Pares que añadir
{(3, 4)}
Contar
k = 1
Respuesta
k = 1
4.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: N = 11664
Relaciones: una relación R en un conjunto X es un conjunto de pares ordenados (x, y). R es reflexiva cuando (x, x) ∈ R para todo x de X; simétrica cuando (x, y) ∈ R siempre va acompañado de (y, x) ∈ R; antisimétrica cuando (x, y) y (y, x) están ambos en R solo si x = y; y transitiva cuando (x, y) y (y, z) en R obligan a que (x, z) ∈ R. Una relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva, y divide X en clases disjuntas.
Cuenta las opciones libres
N = 24·36 = 11664
Respuesta
N = 11664
5.Teoría de grafos
Respuesta: H = 3
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Contar
H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3
Respuesta
H = 3
6.Teoría de grafos
Respuesta: W = 55
Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.
Algoritmo de Kruskal
GC (5): tomar
AB (6): tomar
CE (7): tomar
BD (10): tomar
GD (11): tomar
DE (14): descartar, cierra un ciclo
GE (15): descartar, cierra un ciclo
EF (16): tomar
Peso total
W = 5 + 6 + 7 + 10 + 11 + 16 = 55
Respuesta
W = 55
7.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: 19−1 mod 21 = 10
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides extendido
Cada resto r se escribe como r ≡ t·19 (mod 21).
r = 21, t = 0
r = 19, q = 1, t = 1
r = 2, q = 9, t = −1
r = 1, q = 2, t = 10
Inversa
1 ≡ 10·19 (mod 21)
x = 10
comprobación: 19·10 = 190 = 9·21 + 1
Respuesta
19−1 mod 21 = 10
8.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: m = 145
Potencias modulares y RSA: calcula aᵏ mod n por cuadrado repetido: escribe k en binario, eleva al cuadrado, reduce después de cada paso y multiplica las potencias cuyo bit es 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para un primo p que no divide a a, así que el exponente se puede reducir módulo p − 1. RSA: elige los primos p y q, n = p·q y φ(n) = (p − 1)(q − 1); el exponente público e es coprimo con φ(n), y el exponente privado es d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n y descifra con m = cᵈ mod n.