Dibuja un diagrama de Venn y decide región por región qué pertenece a la expresión de conjuntos.
En los problemas de recuento, rellena las regiones desde el centro hacia fuera: primero todos los conjuntos, luego los pares, después los conjuntos sueltos y por último el exterior.
Usa la inclusión–exclusión como comprobación: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
En una relación, comprueba cada propiedad en todos los pares y da un contraejemplo cuando falle.
En una función, cuenta las flechas que llegan a cada elemento de B: como mucho una significa inyectiva, al menos una, sobreyectiva.
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
Teoría de números y aritmética modular
División con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo común múltiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruencia lineal
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Función φ de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduce primero cada número módulo n; los restos están entre 0 y n − 1.
Para un mcd, divide repetidamente con el algoritmo de Euclides; el último resto distinto de cero es el mcd.
Para un inverso, aplica el algoritmo extendido y quédate con el coeficiente de a; suma n si es negativo.
Resuelve a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combina dos congruencias escribiendo x = r₁ + m₁k.
Para las potencias, escribe el exponente en binario y eleva al cuadrado repetidamente; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Problemas de práctica
1.Lógica proposicional y demostracionesMedia
Quieres demostrar a → (c ∧ b) por contrarrecíproca. ¿Qué implicación demuestras en su lugar? Haz clic en ella.
a → (c ∧ b)
1a ∧ ¬(c ∧ b)
2¬(c ∧ b) → ¬a
3¬a → ¬(c ∧ b)
4(c ∧ b) → a
2.Lógica proposicional y demostracionesDifícil
¿Cuántas de las 16 filas de la tabla de verdad hacen verdadera ((¬p ↔ ¬q) ↔ r) ∨ (s ∨ ¬q)? Llama a ese número N.
((¬p ↔ ¬q) ↔ r) ∨ (s ∨ ¬q)
N =
3.Conjuntos, relaciones y funcionesMedia
En un grupo de 64 estudiantes, 31 hablan francés (F), 23 hablan alemán (G) y 4 hablan ambos. ¿Cuántos están en exactamente uno de los dos conjuntos?
|U| = 64|F| = 31|G| = 23|F ∩ G| = 4
|(F − G) ∪ (G − F)| =
4.Conjuntos, relaciones y funcionesDifícil
En X = {1, 2, …, 8} la relación x ~ y se cumple cuando x ≡ y (mod 5). ¿Cuántos elementos hay en la clase de equivalencia [5]?
X = {1, …, 8}x ~ y ⟺ 5 | (x − y)
|[5]| =
5.Teoría de grafosMedia
¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K7? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.
K7
H =
6.Teoría de grafosDifícil
El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 3; la propia A es la ronda 1.
inicio: Aronda 3
1A
2B
3C
4D
5E
6F
7.Teoría de números y aritmética modularMedia
Halla el inverso de 3 módulo 17: el número x con 0 < x < 17 y 3·x ≡ 1 (mod 17).
a = 3n = 17
3−1 mod 17 =
8.Teoría de números y aritmética modularDifícil
Resuelve 54x ≡ 24 (mod 74). Da la menor solución positiva x.
54x ≡ 24 (mod 74)
x =
3Disoluciones
1.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: ¬(c ∧ b) → ¬a
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Partes de la implicación
a = a, b = c ∧ b
Contrarrecíproca
¬b → ¬a = ¬(c ∧ b) → ¬a
Respuesta
¬(c ∧ b) → ¬a
La contrarrecíproca es equivalente al enunciado original, así que demostrarla demuestra el enunciado.
2.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: N = 14
Tablas de verdad: una fórmula con n variables distintas tiene 2ⁿ filas, una por cada combinación de valores de verdad (1 = verdadero, 0 = falso). Trabaja de dentro hacia fuera y dale a cada subfórmula su propia columna. ¬a invierte el valor; a ∧ b vale 1 solo cuando ambos son 1; a ∨ b vale 0 solo cuando ambos son 0; a → b vale 0 solo cuando a = 1 y b = 0; a ↔ b vale 1 cuando ambos lados son iguales.
Conjuntos y diagramas de Venn: A ∪ B contiene los elementos que están en A o en B (o en ambos), A ∩ B los elementos que están en ambos, A − B los elementos de A que no están en B, y el complemento A′ todo lo de U que no está en A. En un diagrama de Venn toda expresión de conjuntos es una unión de regiones, así que cuéntala región por región. Inclusión–exclusión: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, y |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Regiones
F ∩ G: 4
F − G: 31 − 4 = 27
G − F: 23 − 4 = 19
(F ∪ G)′: 64 − (27 + 19 + 4) = 14
Respuesta
|(F − G) ∪ (G − F)| = 46
Respuesta
|(F − G) ∪ (G − F)| = 46
4.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: |[5]| = 1
Relaciones: una relación R en un conjunto X es un conjunto de pares ordenados (x, y). R es reflexiva cuando (x, x) ∈ R para todo x de X; simétrica cuando (x, y) ∈ R siempre va acompañado de (y, x) ∈ R; antisimétrica cuando (x, y) y (y, x) están ambos en R solo si x = y; y transitiva cuando (x, y) y (y, z) en R obligan a que (x, z) ∈ R. Una relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva, y divide X en clases disjuntas.
La clase
[5] = {5}
|[5]| = 1
Respuesta
|[5]| = 1
5.Teoría de grafos
Respuesta: H = 360
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Contar
H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360
Respuesta
H = 360
6.Teoría de grafos
Respuesta: E
Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.
Dijkstra ronda a ronda
1. A (0): C: 15
2. C (15): B: 26, E: 23
3. E (23): D: 25, F: 28
4. D (25)
5. B (26)
6. F (28)
ronda 3
E
Respuesta
E
7.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: 3−1 mod 17 = 6
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides extendido
Cada resto r se escribe como r ≡ t·3 (mod 17).
r = 17, t = 0
r = 3, q = 5, t = 1
r = 2, q = 1, t = −5
r = 1, q = 2, t = 6
Inversa
1 ≡ 6·3 (mod 17)
x = 6
comprobación: 3·6 = 18 = 1·17 + 1
Respuesta
3−1 mod 17 = 6
8.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: x = 21
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).