Dibuja un diagrama de Venn y decide región por región qué pertenece a la expresión de conjuntos.
En los problemas de recuento, rellena las regiones desde el centro hacia fuera: primero todos los conjuntos, luego los pares, después los conjuntos sueltos y por último el exterior.
Usa la inclusión–exclusión como comprobación: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
En una relación, comprueba cada propiedad en todos los pares y da un contraejemplo cuando falle.
En una función, cuenta las flechas que llegan a cada elemento de B: como mucho una significa inyectiva, al menos una, sobreyectiva.
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
Teoría de números y aritmética modular
División con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo común múltiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruencia lineal
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Función φ de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduce primero cada número módulo n; los restos están entre 0 y n − 1.
Para un mcd, divide repetidamente con el algoritmo de Euclides; el último resto distinto de cero es el mcd.
Para un inverso, aplica el algoritmo extendido y quédate con el coeficiente de a; suma n si es negativo.
Resuelve a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combina dos congruencias escribiendo x = r₁ + m₁k.
Para las potencias, escribe el exponente en binario y eleva al cuadrado repetidamente; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Problemas de práctica
1.Lógica proposicional y demostracionesMedia
¿Qué fórmula es lógicamente equivalente a ¬(b ∧ a)? Haz clic en ella.
¬(b ∧ a)
1¬b ∨ a
2¬b ∨ ¬a
3¬b ∧ a
4¬b ∧ ¬a
2.Lógica proposicional y demostracionesDifícil
¿Cuántas de las 16 filas de la tabla de verdad hacen verdadera (r ↔ (q → ¬s)) ↔ (¬p ∧ s)? Llama a ese número N.
(r ↔ (q → ¬s)) ↔ (¬p ∧ s)
N =
3.Conjuntos, relaciones y funcionesMedia
Cada número del diagrama de Venn es el número de elementos de esa región. Halla |B′ − C|.
|U| = 56
|B′ − C| =
4.Conjuntos, relaciones y funcionesDifícil
¿Cuántas funciones inyectivas (uno a uno) f: A → B hay si |A| = 5 y |B| = 6? Llama al número N.
|A| = 5|B| = 6
N =
5.Teoría de grafosMedia
¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.
|V| = 6|E| = 8
1Circuito euleriano
2Camino euleriano, sin circuito
3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
¿Cuántos recorridos de longitud 2 van de E a C? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.
M = matriz de adyacenciaL = 2
N =
7.Teoría de números y aritmética modularMedia
Resuelve 19x ≡ 17 (mod 21). Da la solución x con 0 < x < 21.
19x ≡ 17 (mod 21)
x =
8.Teoría de números y aritmética modularDifícil
Una clave RSA usa los primos p = 17 y q = 23 y el exponente público e = 3. Halla el exponente privado d (0 < d < φ(n)).
p = 17q = 23e = 3
d =
3Disoluciones
1.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: ¬b ∨ ¬a
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La ley
De Morgan: ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b. El ∧ se convierte en ∨ y se niegan ambas partes.
¬(b ∧ a) ≡ ¬b ∨ ¬a
Comprueba con la tabla de verdad
a = 1, b = 1: 0 | 1 0 0 0
a = 1, b = 0: 1 | 1 1 1 0
a = 0, b = 1: 1 | 0 1 0 0
a = 0, b = 0: 1 | 1 1 0 1
Respuesta
¬b ∨ ¬a
Las columnas después de la barra son las opciones, en el orden mostrado.
2.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: N = 8
Tablas de verdad: una fórmula con n variables distintas tiene 2ⁿ filas, una por cada combinación de valores de verdad (1 = verdadero, 0 = falso). Trabaja de dentro hacia fuera y dale a cada subfórmula su propia columna. ¬a invierte el valor; a ∧ b vale 1 solo cuando ambos son 1; a ∨ b vale 0 solo cuando ambos son 0; a → b vale 0 solo cuando a = 1 y b = 0; a ↔ b vale 1 cuando ambos lados son iguales.
Conjuntos y diagramas de Venn: A ∪ B contiene los elementos que están en A o en B (o en ambos), A ∩ B los elementos que están en ambos, A − B los elementos de A que no están en B, y el complemento A′ todo lo de U que no está en A. En un diagrama de Venn toda expresión de conjuntos es una unión de regiones, así que cuéntala región por región. Inclusión–exclusión: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, y |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Regiones de la expresión
A′ ∩ B′ ∩ C′: 1
A ∩ B′ ∩ C′: 13
Suma
|B′ − C| = 1 + 13 = 14
Respuesta
|B′ − C| = 14
4.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: N = 720
Funciones y recuento: una función f: A → B da a cada elemento de A exactamente una imagen en B. f es inyectiva (uno a uno) cuando elementos distintos tienen imágenes distintas, sobreyectiva cuando todo elemento de B es una imagen, y biyectiva cuando se cumplen ambas. Con |A| = m y |B| = n hay nᵐ funciones, n!/(n − m)! inyectivas (m ≤ n) y, por inclusión–exclusión, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobreyectivas. |𝒫(A)| = 2ᵐ y |A × B| = m·n.
Contar
N = 6!/(6 − 5)! = 720
Respuesta
N = 720
5.Teoría de grafos
Respuesta: ninguna de las dos
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.
Matriz de adyacencia
A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0
Vecinos comunes
(M²)EC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 = 1
Respuesta
N = 1
7.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: x = 2
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Inverso de 19
r = 21, t = 0
r = 19, q = 1, t = 1
r = 2, q = 9, t = −1
r = 1, q = 2, t = 10
19−1 ≡ 10 (mod 21)
Resuelve
x ≡ 10·17 = 170 ≡ 2 (mod 21)
comprobación: 19·2 = 38 ≡ 17 (mod 21)
Respuesta
x = 2
8.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: d = 235
Potencias modulares y RSA: calcula aᵏ mod n por cuadrado repetido: escribe k en binario, eleva al cuadrado, reduce después de cada paso y multiplica las potencias cuyo bit es 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para un primo p que no divide a a, así que el exponente se puede reducir módulo p − 1. RSA: elige los primos p y q, n = p·q y φ(n) = (p − 1)(q − 1); el exponente público e es coprimo con φ(n), y el exponente privado es d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n y descifra con m = cᵈ mod n.