Dibuja un diagrama de Venn y decide región por región qué pertenece a la expresión de conjuntos.
En los problemas de recuento, rellena las regiones desde el centro hacia fuera: primero todos los conjuntos, luego los pares, después los conjuntos sueltos y por último el exterior.
Usa la inclusión–exclusión como comprobación: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
En una relación, comprueba cada propiedad en todos los pares y da un contraejemplo cuando falle.
En una función, cuenta las flechas que llegan a cada elemento de B: como mucho una significa inyectiva, al menos una, sobreyectiva.
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
Teoría de números y aritmética modular
División con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo común múltiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruencia lineal
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Función φ de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduce primero cada número módulo n; los restos están entre 0 y n − 1.
Para un mcd, divide repetidamente con el algoritmo de Euclides; el último resto distinto de cero es el mcd.
Para un inverso, aplica el algoritmo extendido y quédate con el coeficiente de a; suma n si es negativo.
Resuelve a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combina dos congruencias escribiendo x = r₁ + m₁k.
Para las potencias, escribe el exponente en binario y eleva al cuadrado repetidamente; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Problemas de práctica
1.Lógica proposicional y demostracionesMedia
¿Qué fórmula es lógicamente equivalente a p → r? Haz clic en ella.
p → r
1r → p
2¬p → ¬r
3¬r ∧ ¬p
4¬r → ¬p
2.Lógica proposicional y demostracionesDifícil
El argumento con premisas a ∨ c; a y conclusión ¬c no es válido. Haz clic en la fila de la tabla de verdad que es un contraejemplo.
a ∨ ca∴ ¬c
1a = 1, c = 1
2a = 1, c = 0
3a = 0, c = 1
4a = 0, c = 0
3.Conjuntos, relaciones y funcionesMedia
Una encuesta a 47 personas revela que 10 tienen un portátil (L), 29 tienen una tableta (T) y 5 tienen ambos. ¿Cuántos no están en ninguno de los dos conjuntos?
|U| = 47|L| = 10|T| = 29|L ∩ T| = 5
|(L ∪ T)′| =
4.Conjuntos, relaciones y funcionesDifícil
El diagrama de flechas muestra una función f: A → B con A = {1, 2, 3} y B = {a, b}. Haz clic en la descripción que corresponde a f.
f = {(1, b), (2, a), (3, a)}
1inyectiva, no sobreyectiva
2sobreyectiva, no inyectiva
3biyectiva
4ninguna de las dos
5.Teoría de grafosMedia
¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.
|V| = 5|E| = 5
1Circuito euleriano
2Camino euleriano, sin circuito
3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.
inicio: Afin: F
d(F) =
7.Teoría de números y aritmética modularMedia
Halla el inverso de 35 módulo 53: el número x con 0 < x < 53 y 35·x ≡ 1 (mod 53).
a = 35n = 53
35−1 mod 53 =
8.Teoría de números y aritmética modularDifícil
Una clave RSA usa p = 19, q = 41 y e = 19. Descifra el texto cifrado c = 339: halla el mensaje m.
p = 19q = 41e = 19c = 339
m =
3Disoluciones
1.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: ¬r → ¬p
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La ley
Una implicación es equivalente a su contrarrecíproca ¬b → ¬a, no a su recíproca b → a ni a su inversa ¬a → ¬b.
p → r ≡ ¬r → ¬p
Comprueba con la tabla de verdad
p = 1, r = 1: 1 | 1 1 0 1
p = 1, r = 0: 0 | 1 1 0 0
p = 0, r = 1: 1 | 0 0 0 1
p = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1
Respuesta
¬r → ¬p
Las columnas después de la barra son las opciones, en el orden mostrado.
2.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: a = 1, c = 1
Cuantificadores y argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) y ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Desplaza la negación hacia dentro, intercambia cada cuantificador que atraviesa y niega la fórmula interior con las leyes proposicionales, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argumento es válido cuando la conclusión vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1. Una sola fila con premisas verdaderas y conclusión falsa es un contraejemplo y demuestra que el argumento no es válido.
Premisas y conclusión fila por fila
a = 1, c = 1: 1 1 | 0
a = 1, c = 0: 1 1 | 1
a = 0, c = 1: 1 0 | 0
a = 0, c = 0: 0 0 | 1
Contraejemplo
a = 1, c = 1
Respuesta
a = 1, c = 1
Un argumento con esta forma parece una regla válida, pero una sola fila basta para demostrar que no lo es.
3.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: |(L ∪ T)′| = 13
Conjuntos y diagramas de Venn: A ∪ B contiene los elementos que están en A o en B (o en ambos), A ∩ B los elementos que están en ambos, A − B los elementos de A que no están en B, y el complemento A′ todo lo de U que no está en A. En un diagrama de Venn toda expresión de conjuntos es una unión de regiones, así que cuéntala región por región. Inclusión–exclusión: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, y |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Regiones
L ∩ T: 5
L − T: 10 − 5 = 5
T − L: 29 − 5 = 24
(L ∪ T)′: 47 − (5 + 24 + 5) = 13
Respuesta
|(L ∪ T)′| = 13
Respuesta
|(L ∪ T)′| = 13
4.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: sobreyectiva, no inyectiva
Funciones y recuento: una función f: A → B da a cada elemento de A exactamente una imagen en B. f es inyectiva (uno a uno) cuando elementos distintos tienen imágenes distintas, sobreyectiva cuando todo elemento de B es una imagen, y biyectiva cuando se cumplen ambas. Con |A| = m y |B| = n hay nᵐ funciones, n!/(n − m)! inyectivas (m ≤ n) y, por inclusión–exclusión, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobreyectivas. |𝒫(A)| = 2ᵐ y |A × B| = m·n.
¿Inyectiva?
f(2) = f(3) = a → no inyectiva
¿Sobreyectiva?
todo elemento de B recibe alguna flecha → sobreyectiva
Respuesta
sobreyectiva, no inyectiva
Respuesta
sobreyectiva, no inyectiva
5.Teoría de grafos
Respuesta: ninguna de las dos
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.
Dijkstra ronda a ronda
Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.
A (0): B: 5, C: 15
B (5): C: 12, D: 17, E: 18
C (12)
D (17): F: 22
E (18)
F (22)
Camino más corto
A → B → D → F
d(F) = 22
Respuesta
d(F) = 22
7.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: 35−1 mod 53 = 50
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides extendido
Cada resto r se escribe como r ≡ t·35 (mod 53).
r = 53, t = 0
r = 35, q = 1, t = 1
r = 18, q = 1, t = −1
r = 17, q = 1, t = 2
r = 1, q = 17, t = −3
Inversa
1 ≡ −3·35 (mod 53)
x = 50
comprobación: 35·50 = 1750 = 33·53 + 1
Respuesta
35−1 mod 53 = 50
8.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: m = 149
Potencias modulares y RSA: calcula aᵏ mod n por cuadrado repetido: escribe k en binario, eleva al cuadrado, reduce después de cada paso y multiplica las potencias cuyo bit es 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para un primo p que no divide a a, así que el exponente se puede reducir módulo p − 1. RSA: elige los primos p y q, n = p·q y φ(n) = (p − 1)(q − 1); el exponente público e es coprimo con φ(n), y el exponente privado es d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n y descifra con m = cᵈ mod n.