Dibuja un diagrama de Venn y decide región por región qué pertenece a la expresión de conjuntos.
En los problemas de recuento, rellena las regiones desde el centro hacia fuera: primero todos los conjuntos, luego los pares, después los conjuntos sueltos y por último el exterior.
Usa la inclusión–exclusión como comprobación: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
En una relación, comprueba cada propiedad en todos los pares y da un contraejemplo cuando falle.
En una función, cuenta las flechas que llegan a cada elemento de B: como mucho una significa inyectiva, al menos una, sobreyectiva.
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
Teoría de números y aritmética modular
División con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo común múltiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruencia lineal
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Función φ de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduce primero cada número módulo n; los restos están entre 0 y n − 1.
Para un mcd, divide repetidamente con el algoritmo de Euclides; el último resto distinto de cero es el mcd.
Para un inverso, aplica el algoritmo extendido y quédate con el coeficiente de a; suma n si es negativo.
Resuelve a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combina dos congruencias escribiendo x = r₁ + m₁k.
Para las potencias, escribe el exponente en binario y eleva al cuadrado repetidamente; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Problemas de práctica
1.Lógica proposicional y demostracionesMedia
¿Qué fórmula es lógicamente equivalente a ¬(c ↔ a)? Haz clic en ella.
¬(c ↔ a)
1¬c ∨ ¬a
2c ∧ ¬a
3c ↔ ¬a
4¬c ↔ ¬a
2.Lógica proposicional y demostracionesDifícil
Se dan las premisas q → r; ¬r. ¿Qué conclusión se sigue de ellas? Haz clic en ella.
q → r¬r
1¬q
2r
3¬q ∧ r
4q
3.Conjuntos, relaciones y funcionesMedia
De 38 estudiantes de primer curso, 9 aprobaron Matemáticas (M), 24 aprobaron Física (P) y 6 aprobaron ambas. ¿Cuántos están en exactamente uno de los dos conjuntos?
|U| = 38|M| = 9|P| = 24|M ∩ P| = 6
|(M − P) ∪ (P − M)| =
4.Conjuntos, relaciones y funcionesDifícil
En X = {1, 2, …, 8} la relación x ~ y se cumple cuando x ≡ y (mod 4). ¿Cuántos elementos hay en la clase de equivalencia [7]?
X = {1, …, 8}x ~ y ⟺ 4 | (x − y)
|[7]| =
5.Teoría de grafosMedia
¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K5? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.
K5
H =
6.Teoría de grafosDifícil
Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.
|V| = 7|E| = 9
W =
7.Teoría de números y aritmética modularMedia
Halla el inverso de 41 módulo 75: el número x con 0 < x < 75 y 41·x ≡ 1 (mod 75).
a = 41n = 75
41−1 mod 75 =
8.Teoría de números y aritmética modularDifícil
Una clave RSA usa p = 31, q = 47 y e = 13. Descifra el texto cifrado c = 838: halla el mensaje m.
p = 31q = 47e = 13c = 838
m =
3Disoluciones
1.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: c ↔ ¬a
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La ley
¬(a ↔ b) vale 1 exactamente cuando a y b difieren, que es a ↔ ¬b.
¬(c ↔ a) ≡ c ↔ ¬a
Comprueba con la tabla de verdad
a = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 1
a = 1, c = 0: 1 | 1 0 1 0
a = 0, c = 1: 1 | 1 1 1 0
a = 0, c = 0: 0 | 1 0 0 1
Respuesta
c ↔ ¬a
Las columnas después de la barra son las opciones, en el orden mostrado.
2.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: ¬q
Cuantificadores y argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) y ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Desplaza la negación hacia dentro, intercambia cada cuantificador que atraviesa y niega la fórmula interior con las leyes proposicionales, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argumento es válido cuando la conclusión vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1. Una sola fila con premisas verdaderas y conclusión falsa es un contraejemplo y demuestra que el argumento no es válido.
Filas con todas las premisas verdaderas
q = 0, r = 0: ¬q = 1, r = 0, ¬q ∧ r = 0, q = 0
Conclusión
¬q (modus tollens)
Respuesta
¬q
3.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: |(M − P) ∪ (P − M)| = 21
Conjuntos y diagramas de Venn: A ∪ B contiene los elementos que están en A o en B (o en ambos), A ∩ B los elementos que están en ambos, A − B los elementos de A que no están en B, y el complemento A′ todo lo de U que no está en A. En un diagrama de Venn toda expresión de conjuntos es una unión de regiones, así que cuéntala región por región. Inclusión–exclusión: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, y |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Regiones
M ∩ P: 6
M − P: 9 − 6 = 3
P − M: 24 − 6 = 18
(M ∪ P)′: 38 − (3 + 18 + 6) = 11
Respuesta
|(M − P) ∪ (P − M)| = 21
Respuesta
|(M − P) ∪ (P − M)| = 21
4.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: |[7]| = 2
Relaciones: una relación R en un conjunto X es un conjunto de pares ordenados (x, y). R es reflexiva cuando (x, x) ∈ R para todo x de X; simétrica cuando (x, y) ∈ R siempre va acompañado de (y, x) ∈ R; antisimétrica cuando (x, y) y (y, x) están ambos en R solo si x = y; y transitiva cuando (x, y) y (y, z) en R obligan a que (x, z) ∈ R. Una relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva, y divide X en clases disjuntas.
La clase
[7] = {3, 7}
|[7]| = 2
Respuesta
|[7]| = 2
5.Teoría de grafos
Respuesta: H = 12
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Contar
H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12
Respuesta
H = 12
6.Teoría de grafos
Respuesta: W = 67
Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.
Algoritmo de Kruskal
GB (3): tomar
GC (5): tomar
BC (7): descartar, cierra un ciclo
AB (12): tomar
CE (14): tomar
DF (16): tomar
BD (17): tomar
Peso total
W = 3 + 5 + 12 + 14 + 16 + 17 = 67
Respuesta
W = 67
7.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: 41−1 mod 75 = 11
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides extendido
Cada resto r se escribe como r ≡ t·41 (mod 75).
r = 75, t = 0
r = 41, q = 1, t = 1
r = 34, q = 1, t = −1
r = 7, q = 4, t = 2
r = 6, q = 1, t = −9
r = 1, q = 6, t = 11
Inversa
1 ≡ 11·41 (mod 75)
x = 11
comprobación: 41·11 = 451 = 6·75 + 1
Respuesta
41−1 mod 75 = 11
8.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: m = 466
Potencias modulares y RSA: calcula aᵏ mod n por cuadrado repetido: escribe k en binario, eleva al cuadrado, reduce después de cada paso y multiplica las potencias cuyo bit es 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para un primo p que no divide a a, así que el exponente se puede reducir módulo p − 1. RSA: elige los primos p y q, n = p·q y φ(n) = (p − 1)(q − 1); el exponente público e es coprimo con φ(n), y el exponente privado es d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n y descifra con m = cᵈ mod n.