Dibuja un diagrama de Venn y decide región por región qué pertenece a la expresión de conjuntos.
En los problemas de recuento, rellena las regiones desde el centro hacia fuera: primero todos los conjuntos, luego los pares, después los conjuntos sueltos y por último el exterior.
Usa la inclusión–exclusión como comprobación: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
En una relación, comprueba cada propiedad en todos los pares y da un contraejemplo cuando falle.
En una función, cuenta las flechas que llegan a cada elemento de B: como mucho una significa inyectiva, al menos una, sobreyectiva.
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
Teoría de números y aritmética modular
División con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo común múltiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruencia lineal
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Función φ de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduce primero cada número módulo n; los restos están entre 0 y n − 1.
Para un mcd, divide repetidamente con el algoritmo de Euclides; el último resto distinto de cero es el mcd.
Para un inverso, aplica el algoritmo extendido y quédate con el coeficiente de a; suma n si es negativo.
Resuelve a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combina dos congruencias escribiendo x = r₁ + m₁k.
Para las potencias, escribe el exponente en binario y eleva al cuadrado repetidamente; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Problemas de práctica
1.Lógica proposicional y demostracionesMedia
¿Qué fórmula es lógicamente equivalente a q → r? Haz clic en ella.
q → r
1¬r → ¬q
2r → q
3¬r ∧ ¬q
4¬q → ¬r
2.Lógica proposicional y demostracionesDifícil
El argumento con premisas b → a; ¬b y conclusión ¬a no es válido. Haz clic en la fila de la tabla de verdad que es un contraejemplo.
b → a¬b∴ ¬a
1a = 1, b = 1
2a = 1, b = 0
3a = 0, b = 1
4a = 0, b = 0
3.Conjuntos, relaciones y funcionesMedia
Una encuesta a 38 personas revela que 17 tienen un portátil (L), 17 una tableta (T) y 17 un reloj inteligente (W). 11 tienen L y T, 4 tienen L y W, 4 tienen T y W, y 3 tienen los tres. ¿Cuántos están en exactamente dos de los tres conjuntos? Llama al número n.
|U| = 38
n =
4.Conjuntos, relaciones y funcionesDifícil
La biyección f en {1, 2, 3, 4, 5} viene dada por su tabla. Halla f−1(3).
f: 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 5, 4 ↦ 4, 5 ↦ 3
f−1(3) =
5.Teoría de grafosMedia
¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.
|V| = 5|E| = 6
1Circuito euleriano
2Camino euleriano, sin circuito
3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
¿Cuántos recorridos de longitud 3 van de B a C? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.
M = matriz de adyacenciaL = 3
N =
7.Teoría de números y aritmética modularMedia
Resuelve 25x ≡ 28 (mod 67). Da la solución x con 0 < x < 67.
25x ≡ 28 (mod 67)
x =
8.Teoría de números y aritmética modularDifícil
Una clave RSA usa los primos p = 17 y q = 37 y el exponente público e = 13. Halla el exponente privado d (0 < d < φ(n)).
p = 17q = 37e = 13
d =
3Disoluciones
1.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: ¬r → ¬q
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La ley
Una implicación es equivalente a su contrarrecíproca ¬b → ¬a, no a su recíproca b → a ni a su inversa ¬a → ¬b.
q → r ≡ ¬r → ¬q
Comprueba con la tabla de verdad
q = 1, r = 1: 1 | 1 1 0 1
q = 1, r = 0: 0 | 0 1 0 1
q = 0, r = 1: 1 | 1 0 0 0
q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1
Respuesta
¬r → ¬q
Las columnas después de la barra son las opciones, en el orden mostrado.
2.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: a = 1, b = 0
Cuantificadores y argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) y ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Desplaza la negación hacia dentro, intercambia cada cuantificador que atraviesa y niega la fórmula interior con las leyes proposicionales, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argumento es válido cuando la conclusión vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1. Una sola fila con premisas verdaderas y conclusión falsa es un contraejemplo y demuestra que el argumento no es válido.
Premisas y conclusión fila por fila
a = 1, b = 1: 1 0 | 0
a = 1, b = 0: 1 1 | 0
a = 0, b = 1: 0 0 | 1
a = 0, b = 0: 1 1 | 1
Contraejemplo
a = 1, b = 0
Respuesta
a = 1, b = 0
Un argumento con esta forma parece una regla válida, pero una sola fila basta para demostrar que no lo es.
3.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: n = 10
Conjuntos y diagramas de Venn: A ∪ B contiene los elementos que están en A o en B (o en ambos), A ∩ B los elementos que están en ambos, A − B los elementos de A que no están en B, y el complemento A′ todo lo de U que no está en A. En un diagrama de Venn toda expresión de conjuntos es una unión de regiones, así que cuéntala región por región. Inclusión–exclusión: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, y |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Centro y pares
L ∩ T ∩ W: 3
L ∩ T solo: 11 − 3 = 8
L ∩ W solo: 4 − 3 = 1
T ∩ W solo: 4 − 3 = 1
Conjuntos sueltos
L solo: 17 − 8 − 1 − 3 = 5
T solo: 17 − 8 − 1 − 3 = 5
W solo: 17 − 1 − 1 − 3 = 12
Respuesta
8 + 1 + 1 = 10
Respuesta
n = 10
4.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: f−1(3) = 5
Funciones y recuento: una función f: A → B da a cada elemento de A exactamente una imagen en B. f es inyectiva (uno a uno) cuando elementos distintos tienen imágenes distintas, sobreyectiva cuando todo elemento de B es una imagen, y biyectiva cuando se cumplen ambas. Con |A| = m y |B| = n hay nᵐ funciones, n!/(n − m)! inyectivas (m ≤ n) y, por inclusión–exclusión, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobreyectivas. |𝒫(A)| = 2ᵐ y |A × B| = m·n.
Lee la tabla al revés
f(5) = 3 → f−1(3) = 5
Respuesta
f−1(3) = 5
5.Teoría de grafos
Respuesta: ninguna de las dos
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.
Matriz de adyacencia
A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0
Un paso más
(M³)BC = 1·1 + 3·1 + 1·0 + 1·0 + 2·1 = 6
Respuesta
N = 6
7.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: x = 44
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Inverso de 25
r = 67, t = 0
r = 25, q = 2, t = 1
r = 17, q = 1, t = −2
r = 8, q = 2, t = 3
r = 1, q = 8, t = −8
25−1 ≡ 59 (mod 67)
Resuelve
x ≡ 59·28 = 1652 ≡ 44 (mod 67)
comprobación: 25·44 = 1100 ≡ 28 (mod 67)
Respuesta
x = 44
8.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: d = 133
Potencias modulares y RSA: calcula aᵏ mod n por cuadrado repetido: escribe k en binario, eleva al cuadrado, reduce después de cada paso y multiplica las potencias cuyo bit es 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para un primo p que no divide a a, así que el exponente se puede reducir módulo p − 1. RSA: elige los primos p y q, n = p·q y φ(n) = (p − 1)(q − 1); el exponente público e es coprimo con φ(n), y el exponente privado es d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n y descifra con m = cᵈ mod n.