Dibuja un diagrama de Venn y decide región por región qué pertenece a la expresión de conjuntos.
En los problemas de recuento, rellena las regiones desde el centro hacia fuera: primero todos los conjuntos, luego los pares, después los conjuntos sueltos y por último el exterior.
Usa la inclusión–exclusión como comprobación: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
En una relación, comprueba cada propiedad en todos los pares y da un contraejemplo cuando falle.
En una función, cuenta las flechas que llegan a cada elemento de B: como mucho una significa inyectiva, al menos una, sobreyectiva.
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
Teoría de números y aritmética modular
División con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo común múltiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruencia lineal
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Función φ de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduce primero cada número módulo n; los restos están entre 0 y n − 1.
Para un mcd, divide repetidamente con el algoritmo de Euclides; el último resto distinto de cero es el mcd.
Para un inverso, aplica el algoritmo extendido y quédate con el coeficiente de a; suma n si es negativo.
Resuelve a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combina dos congruencias escribiendo x = r₁ + m₁k.
Para las potencias, escribe el exponente en binario y eleva al cuadrado repetidamente; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Problemas de práctica
1.Lógica proposicional y demostracionesMedia
¿Qué fórmula es lógicamente equivalente a ¬(p ↔ q)? Haz clic en ella.
¬(p ↔ q)
1p ↔ ¬q
2¬p ↔ ¬q
3p ∧ ¬q
4¬p ∨ ¬q
2.Lógica proposicional y demostracionesDifícil
El argumento con premisas p ∨ q; p y conclusión ¬q no es válido. Haz clic en la fila de la tabla de verdad que es un contraejemplo.
p ∨ qp∴ ¬q
1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0
3.Conjuntos, relaciones y funcionesMedia
De 59 estudiantes de primer curso, 29 aprobaron Matemáticas (M), 33 aprobaron Física (P) y 27 aprobaron Química (C). 15 aprobaron M y P, 13 aprobaron M y C, 14 aprobaron P y C, y 4 aprobaron las tres. ¿Cuántos no están en ninguno de los tres conjuntos?
|U| = 59
|(M ∪ P ∪ C)′| =
4.Conjuntos, relaciones y funcionesDifícil
¿Cuántas relaciones reflexivas hay en un conjunto de 2 elementos? Llama al número N.
|X| = 2
N =
5.Teoría de grafosMedia
¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.
|V| = 5|E| = 6
1Circuito euleriano
2Camino euleriano, sin circuito
3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice C. Haz clic en la arista que añade como arista número 3.
inicio: Ck = 3
1arista AC
2arista BC
3arista BD
4arista CE
5arista DE
6arista DF
7arista EF
8arista BE
7.Teoría de números y aritmética modularMedia
Halla el inverso de 42 módulo 47: el número x con 0 < x < 47 y 42·x ≡ 1 (mod 47).
a = 42n = 47
42−1 mod 47 =
8.Teoría de números y aritmética modularDifícil
Una clave RSA usa p = 5, q = 37 y e = 7. Descifra el texto cifrado c = 54: halla el mensaje m.
p = 5q = 37e = 7c = 54
m =
3Disoluciones
1.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: p ↔ ¬q
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La ley
¬(a ↔ b) vale 1 exactamente cuando a y b difieren, que es a ↔ ¬b.
¬(p ↔ q) ≡ p ↔ ¬q
Comprueba con la tabla de verdad
p = 1, q = 1: 0 | 0 1 0 0
p = 1, q = 0: 1 | 1 0 1 1
p = 0, q = 1: 1 | 1 0 0 1
p = 0, q = 0: 0 | 0 1 0 1
Respuesta
p ↔ ¬q
Las columnas después de la barra son las opciones, en el orden mostrado.
2.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: p = 1, q = 1
Cuantificadores y argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) y ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Desplaza la negación hacia dentro, intercambia cada cuantificador que atraviesa y niega la fórmula interior con las leyes proposicionales, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argumento es válido cuando la conclusión vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1. Una sola fila con premisas verdaderas y conclusión falsa es un contraejemplo y demuestra que el argumento no es válido.
Premisas y conclusión fila por fila
p = 1, q = 1: 1 1 | 0
p = 1, q = 0: 1 1 | 1
p = 0, q = 1: 1 0 | 0
p = 0, q = 0: 0 0 | 1
Contraejemplo
p = 1, q = 1
Respuesta
p = 1, q = 1
Un argumento con esta forma parece una regla válida, pero una sola fila basta para demostrar que no lo es.
3.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: |(M ∪ P ∪ C)′| = 8
Conjuntos y diagramas de Venn: A ∪ B contiene los elementos que están en A o en B (o en ambos), A ∩ B los elementos que están en ambos, A − B los elementos de A que no están en B, y el complemento A′ todo lo de U que no está en A. En un diagrama de Venn toda expresión de conjuntos es una unión de regiones, así que cuéntala región por región. Inclusión–exclusión: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, y |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Centro y pares
M ∩ P ∩ C: 4
M ∩ P solo: 15 − 4 = 11
M ∩ C solo: 13 − 4 = 9
P ∩ C solo: 14 − 4 = 10
Conjuntos sueltos
M solo: 29 − 11 − 9 − 4 = 5
P solo: 33 − 11 − 10 − 4 = 8
C solo: 27 − 9 − 10 − 4 = 4
Respuesta
|M ∪ P ∪ C| = 51
|(M ∪ P ∪ C)′| = 59 − 51 = 8
Respuesta
|(M ∪ P ∪ C)′| = 8
4.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: N = 4
Relaciones: una relación R en un conjunto X es un conjunto de pares ordenados (x, y). R es reflexiva cuando (x, x) ∈ R para todo x de X; simétrica cuando (x, y) ∈ R siempre va acompañado de (y, x) ∈ R; antisimétrica cuando (x, y) y (y, x) están ambos en R solo si x = y; y transitiva cuando (x, y) y (y, z) en R obligan a que (x, z) ∈ R. Una relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva, y divide X en clases disjuntas.
Cuenta las opciones libres
N = 22² − 2 = 4
Respuesta
N = 4
5.Teoría de grafos
Respuesta: Circuito euleriano
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.
Algoritmo de Prim
1. BC (3)
2. AC (13)
3. BD (16)
4. DF (5)
5. DE (12)
arista número 3
BD
Respuesta
arista BD
7.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: 42−1 mod 47 = 28
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides extendido
Cada resto r se escribe como r ≡ t·42 (mod 47).
r = 47, t = 0
r = 42, q = 1, t = 1
r = 5, q = 8, t = −1
r = 2, q = 2, t = 9
r = 1, q = 2, t = −19
Inversa
1 ≡ −19·42 (mod 47)
x = 28
comprobación: 42·28 = 1176 = 25·47 + 1
Respuesta
42−1 mod 47 = 28
8.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: m = 39
Potencias modulares y RSA: calcula aᵏ mod n por cuadrado repetido: escribe k en binario, eleva al cuadrado, reduce después de cada paso y multiplica las potencias cuyo bit es 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para un primo p que no divide a a, así que el exponente se puede reducir módulo p − 1. RSA: elige los primos p y q, n = p·q y φ(n) = (p − 1)(q − 1); el exponente público e es coprimo con φ(n), y el exponente privado es d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n y descifra con m = cᵈ mod n.