Dibuja un diagrama de Venn y decide región por región qué pertenece a la expresión de conjuntos.
En los problemas de recuento, rellena las regiones desde el centro hacia fuera: primero todos los conjuntos, luego los pares, después los conjuntos sueltos y por último el exterior.
Usa la inclusión–exclusión como comprobación: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
En una relación, comprueba cada propiedad en todos los pares y da un contraejemplo cuando falle.
En una función, cuenta las flechas que llegan a cada elemento de B: como mucho una significa inyectiva, al menos una, sobreyectiva.
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
Teoría de números y aritmética modular
División con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo común múltiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruencia lineal
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Función φ de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduce primero cada número módulo n; los restos están entre 0 y n − 1.
Para un mcd, divide repetidamente con el algoritmo de Euclides; el último resto distinto de cero es el mcd.
Para un inverso, aplica el algoritmo extendido y quédate con el coeficiente de a; suma n si es negativo.
Resuelve a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combina dos congruencias escribiendo x = r₁ + m₁k.
Para las potencias, escribe el exponente en binario y eleva al cuadrado repetidamente; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Problemas de práctica
1.Lógica proposicional y demostracionesMedia
¿Qué fórmula es lógicamente equivalente a q ↔ r? Haz clic en ella.
q ↔ r
1(q → r) ∨ (r → q)
2(q → r) ∧ (¬r → ¬q)
3q ∧ r
4(q → r) ∧ (r → q)
2.Lógica proposicional y demostracionesDifícil
El argumento con premisas b → c; c y conclusión b no es válido. Haz clic en la fila de la tabla de verdad que es un contraejemplo.
b → cc∴ b
1b = 1, c = 1
2b = 1, c = 0
3b = 0, c = 1
4b = 0, c = 0
3.Conjuntos, relaciones y funcionesMedia
La relación R en {1, 2, 3, 4} se dibuja como un grafo dirigido (un lazo significa (x, x) ∈ R). Se cumple exactamente una de las cuatro propiedades. Haz clic en ella.
El diagrama de flechas muestra una función f: A → B con A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c, d}. Haz clic en la descripción que corresponde a f.
f = {(1, d), (2, c), (3, b), (4, a)}
1inyectiva, no sobreyectiva
2sobreyectiva, no inyectiva
3biyectiva
4ninguna de las dos
5.Teoría de grafosMedia
Un árbol tiene 4 vértices de grado 4, 4 vértices de grado 5, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?
4 × deg 44 × deg 5
L =
6.Teoría de grafosDifícil
Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(C) del camino más corto de A a C en el grafo ponderado.
inicio: Afin: C
d(C) =
7.Teoría de números y aritmética modularMedia
Resuelve 7x ≡ 5 (mod 18). Da la solución x con 0 < x < 18.
7x ≡ 5 (mod 18)
x =
8.Teoría de números y aritmética modularDifícil
¿Cuántas soluciones, N, tiene 34x ≡ 42 (mod 80) en {0, 1, …, 79}?
34x ≡ 42 (mod 80)
N =
3Disoluciones
1.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: (q → r) ∧ (r → q)
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La ley
a ↔ b significa que la implicación se cumple en ambos sentidos: (a → b) ∧ (b → a).
q ↔ r ≡ (q → r) ∧ (r → q)
Comprueba con la tabla de verdad
q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
q = 1, r = 0: 0 | 1 0 0 0
q = 0, r = 1: 0 | 1 1 0 0
q = 0, r = 0: 1 | 1 1 0 1
Respuesta
(q → r) ∧ (r → q)
Las columnas después de la barra son las opciones, en el orden mostrado.
2.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: b = 0, c = 1
Cuantificadores y argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) y ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Desplaza la negación hacia dentro, intercambia cada cuantificador que atraviesa y niega la fórmula interior con las leyes proposicionales, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argumento es válido cuando la conclusión vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1. Una sola fila con premisas verdaderas y conclusión falsa es un contraejemplo y demuestra que el argumento no es válido.
Premisas y conclusión fila por fila
b = 1, c = 1: 1 1 | 1
b = 1, c = 0: 0 0 | 1
b = 0, c = 1: 1 1 | 0
b = 0, c = 0: 1 0 | 0
Contraejemplo
b = 0, c = 1
Respuesta
b = 0, c = 1
Un argumento con esta forma parece una regla válida, pero una sola fila basta para demostrar que no lo es.
3.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: transitiva
Relaciones: una relación R en un conjunto X es un conjunto de pares ordenados (x, y). R es reflexiva cuando (x, x) ∈ R para todo x de X; simétrica cuando (x, y) ∈ R siempre va acompañado de (y, x) ∈ R; antisimétrica cuando (x, y) y (y, x) están ambos en R solo si x = y; y transitiva cuando (x, y) y (y, z) en R obligan a que (x, z) ∈ R. Una relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva, y divide X en clases disjuntas.
reflexiva
falla: (1, 1) ∉ R
simétrica
falla: (4, 1) ∈ R, (1, 4) ∉ R
antisimétrica
falla: (2, 3), (3, 2) ∈ R
transitiva
se cumple
Respuesta
transitiva
4.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: biyectiva
Funciones y recuento: una función f: A → B da a cada elemento de A exactamente una imagen en B. f es inyectiva (uno a uno) cuando elementos distintos tienen imágenes distintas, sobreyectiva cuando todo elemento de B es una imagen, y biyectiva cuando se cumplen ambas. Con |A| = m y |B| = n hay nᵐ funciones, n!/(n − m)! inyectivas (m ≤ n) y, por inclusión–exclusión, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobreyectivas. |𝒫(A)| = 2ᵐ y |A × B| = m·n.
¿Inyectiva?
cada elemento de B recibe como mucho una flecha → inyectiva
¿Sobreyectiva?
todo elemento de B recibe alguna flecha → sobreyectiva
Respuesta
biyectiva
Respuesta
biyectiva
5.Teoría de grafos
Respuesta: L = 22
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Lema del apretón de manos para un árbol
L + 36 = 2(L + 8) − 2
L = 22
Respuesta
L = 22
Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.
6.Teoría de grafos
Respuesta: d(C) = 13
Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.
Dijkstra ronda a ronda
Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.
A (0): B: 4, C: 15
B (4): D: 10, E: 5
E (5): C: 13, D: 7, F: 10
D (7)
F (10)
C (13)
Camino más corto
A → B → E → C
d(C) = 13
Respuesta
d(C) = 13
7.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: x = 11
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Inverso de 7
r = 18, t = 0
r = 7, q = 2, t = 1
r = 4, q = 1, t = −2
r = 3, q = 1, t = 3
r = 1, q = 3, t = −5
7−1 ≡ 13 (mod 18)
Resuelve
x ≡ 13·5 = 65 ≡ 11 (mod 18)
comprobación: 7·11 = 77 ≡ 5 (mod 18)
Respuesta
x = 11
8.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: N = 2
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).