Dibuja un diagrama de Venn y decide región por región qué pertenece a la expresión de conjuntos.
En los problemas de recuento, rellena las regiones desde el centro hacia fuera: primero todos los conjuntos, luego los pares, después los conjuntos sueltos y por último el exterior.
Usa la inclusión–exclusión como comprobación: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
En una relación, comprueba cada propiedad en todos los pares y da un contraejemplo cuando falle.
En una función, cuenta las flechas que llegan a cada elemento de B: como mucho una significa inyectiva, al menos una, sobreyectiva.
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
Teoría de números y aritmética modular
División con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo común múltiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruencia lineal
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Función φ de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduce primero cada número módulo n; los restos están entre 0 y n − 1.
Para un mcd, divide repetidamente con el algoritmo de Euclides; el último resto distinto de cero es el mcd.
Para un inverso, aplica el algoritmo extendido y quédate con el coeficiente de a; suma n si es negativo.
Resuelve a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combina dos congruencias escribiendo x = r₁ + m₁k.
Para las potencias, escribe el exponente en binario y eleva al cuadrado repetidamente; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Problemas de práctica
1.Lógica proposicional y demostracionesMedia
Quieres demostrar q → (p ∨ r) por reducción al absurdo. ¿Qué enunciado supones al principio? Haz clic en él.
q → (p ∨ r)
1¬q ∧ (p ∨ r)
2q ∧ ¬(p ∨ r)
3¬q ∧ ¬(p ∨ r)
4¬q → ¬(p ∨ r)
2.Lógica proposicional y demostracionesDifícil
¿Qué enunciado es equivalente a ¬∀x ∃y R(x, y), con la negación desplazada hasta el interior? Haz clic en él.
¬∀x ∃y R(x, y)
1∃y ∀x ¬R(x, y)
2∃x ∀y ¬R(x, y)
3∀x ∀y ¬R(x, y)
4∀x ∃y ¬R(x, y)
3.Conjuntos, relaciones y funcionesMedia
En un grupo de 47 estudiantes, 18 hablan francés (F), 20 hablan alemán (G) y 21 hablan español (S). 8 hablan francés y alemán, 9 francés y español, 7 alemán y español, y 1 hablan los tres. ¿Cuántos están solo en F?
|U| = 47
|F − (G ∪ S)| =
4.Conjuntos, relaciones y funcionesDifícil
Las funciones f y g en {1, 2, 3, 4, 5} vienen dadas por sus tablas. Halla (f ∘ g)(1).
¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.
|V| = 5|E| = 6
1Circuito euleriano
2Camino euleriano, sin circuito
3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice B. Haz clic en la arista que añade como arista número 3.
inicio: Bk = 3
1arista AB
2arista AC
3arista BC
4arista BD
5arista CE
6arista DE
7arista DF
8arista EF
7.Teoría de números y aritmética modularMedia
Halla el inverso de 19 módulo 98: el número x con 0 < x < 98 y 19·x ≡ 1 (mod 98).
a = 19n = 98
19−1 mod 98 =
8.Teoría de números y aritmética modularDifícil
¿Cuántas soluciones, N, tiene 52x ≡ 38 (mod 74) en {0, 1, …, 73}?
52x ≡ 38 (mod 74)
N =
3Disoluciones
1.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: q ∧ ¬(p ∨ r)
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Partes de la implicación
a = q, b = p ∨ r
Negación de la implicación
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = q ∧ ¬(p ∨ r)
Respuesta
q ∧ ¬(p ∨ r)
Si la suposición lleva a una contradicción, la implicación tiene que ser verdadera.
2.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: ∃x ∀y ¬R(x, y)
Cuantificadores y argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) y ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Desplaza la negación hacia dentro, intercambia cada cuantificador que atraviesa y niega la fórmula interior con las leyes proposicionales, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argumento es válido cuando la conclusión vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1. Una sola fila con premisas verdaderas y conclusión falsa es un contraejemplo y demuestra que el argumento no es válido.
Desplaza la negación hacia dentro
¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)
Respuesta
∃x ∀y ¬R(x, y)
Las otras opciones dejan un cuantificador sin cambiar, cambian el orden de los cuantificadores o niegan mal la fórmula interior.
3.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: |F − (G ∪ S)| = 2
Conjuntos y diagramas de Venn: A ∪ B contiene los elementos que están en A o en B (o en ambos), A ∩ B los elementos que están en ambos, A − B los elementos de A que no están en B, y el complemento A′ todo lo de U que no está en A. En un diagrama de Venn toda expresión de conjuntos es una unión de regiones, así que cuéntala región por región. Inclusión–exclusión: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, y |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Centro y pares
F ∩ G ∩ S: 1
F ∩ G solo: 8 − 1 = 7
F ∩ S solo: 9 − 1 = 8
G ∩ S solo: 7 − 1 = 6
Conjuntos sueltos
F solo: 18 − 7 − 8 − 1 = 2
G solo: 20 − 7 − 6 − 1 = 6
S solo: 21 − 8 − 6 − 1 = 6
Respuesta
|F − (G ∪ S)| = 2
Respuesta
|F − (G ∪ S)| = 2
4.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: (f ∘ g)(1) = 3
Funciones y recuento: una función f: A → B da a cada elemento de A exactamente una imagen en B. f es inyectiva (uno a uno) cuando elementos distintos tienen imágenes distintas, sobreyectiva cuando todo elemento de B es una imagen, y biyectiva cuando se cumplen ambas. Con |A| = m y |B| = n hay nᵐ funciones, n!/(n − m)! inyectivas (m ≤ n) y, por inclusión–exclusión, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobreyectivas. |𝒫(A)| = 2ᵐ y |A × B| = m·n.
Función interior
g(1) = 5
Función exterior
f(5) = 3
(f ∘ g)(1) = 3
Respuesta
(f ∘ g)(1) = 3
5.Teoría de grafos
Respuesta: Circuito euleriano
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.
Algoritmo de Prim
1. BC (15)
2. AC (6)
3. CE (11)
4. EF (1)
5. DE (14)
arista número 3
CE
Respuesta
arista CE
7.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: 19−1 mod 98 = 31
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides extendido
Cada resto r se escribe como r ≡ t·19 (mod 98).
r = 98, t = 0
r = 19, q = 5, t = 1
r = 3, q = 6, t = −5
r = 1, q = 3, t = 31
Inversa
1 ≡ 31·19 (mod 98)
x = 31
comprobación: 19·31 = 589 = 6·98 + 1
Respuesta
19−1 mod 98 = 31
8.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: N = 2
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).