Dibuja un diagrama de Venn y decide región por región qué pertenece a la expresión de conjuntos.
En los problemas de recuento, rellena las regiones desde el centro hacia fuera: primero todos los conjuntos, luego los pares, después los conjuntos sueltos y por último el exterior.
Usa la inclusión–exclusión como comprobación: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
En una relación, comprueba cada propiedad en todos los pares y da un contraejemplo cuando falle.
En una función, cuenta las flechas que llegan a cada elemento de B: como mucho una significa inyectiva, al menos una, sobreyectiva.
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
Teoría de números y aritmética modular
División con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo común múltiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruencia lineal
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Función φ de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduce primero cada número módulo n; los restos están entre 0 y n − 1.
Para un mcd, divide repetidamente con el algoritmo de Euclides; el último resto distinto de cero es el mcd.
Para un inverso, aplica el algoritmo extendido y quédate con el coeficiente de a; suma n si es negativo.
Resuelve a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combina dos congruencias escribiendo x = r₁ + m₁k.
Para las potencias, escribe el exponente en binario y eleva al cuadrado repetidamente; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Problemas de práctica
1.Lógica proposicional y demostracionesMedia
¿Es (r ∧ q) → r una tautología, una contradicción o una contingencia? Haz clic en tu respuesta.
(r ∧ q) → r
1tautología
2contradicción
3contingencia
2.Lógica proposicional y demostracionesDifícil
¿Qué enunciado es equivalente a ¬∀x (A(x) → B(x)), con la negación desplazada hasta el interior? Haz clic en él.
¬∀x (A(x) → B(x))
1∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
2∃x (¬A(x) ∧ B(x))
3∀x (A(x) ∧ ¬B(x))
4∀x (A(x) → ¬B(x))
3.Conjuntos, relaciones y funcionesMedia
Exactamente una región del diagrama de Venn es el conjunto (C′ ∩ B) − (A ∩ C′). Haz clic en su número.
(C′ ∩ B) − (A ∩ C′)
1región 1
2región 2
3región 3
4región 4
5región 5
6región 6
7región 7
8región 8
4.Conjuntos, relaciones y funcionesDifícil
Una relación de equivalencia R en {1, …, 9} tiene las clases {4, 5, 7, 9}, {1, 2, 3, 8}, {6}. ¿Cuántos pares ordenados contiene R? Llama al número |R|.
{4, 5, 7, 9}{1, 2, 3, 8}{6}
|R| =
5.Teoría de grafosMedia
Un grafo conexo tiene 15 vértices y 18 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?
|V| = 15|E| = 18
k =
6.Teoría de grafosDifícil
El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 4; las aristas descartadas no cuentan.
k = 4
1arista AB
2arista AC
3arista BC
4arista BD
5arista CE
6arista DE
7arista BE
7.Teoría de números y aritmética modularMedia
Halla el inverso de 35 módulo 93: el número x con 0 < x < 93 y 35·x ≡ 1 (mod 93).
a = 35n = 93
35−1 mod 93 =
8.Teoría de números y aritmética modularDifícil
¿Cuántas soluciones, N, tiene 40x ≡ 45 (mod 55) en {0, 1, …, 54}?
40x ≡ 45 (mod 55)
N =
3Disoluciones
1.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: tautología
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Tabla de verdad fila por fila
q = 1, r = 1: r ∧ q = 1, (r ∧ q) → r = 1
q = 1, r = 0: r ∧ q = 0, (r ∧ q) → r = 1
q = 0, r = 1: r ∧ q = 0, (r ∧ q) → r = 1
q = 0, r = 0: r ∧ q = 0, (r ∧ q) → r = 1
Clasifica
(r ∧ q) → r: 1, 1, 1, 1
1 en todas las filas: una tautología.
Respuesta
tautología
2.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: ∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
Cuantificadores y argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) y ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Desplaza la negación hacia dentro, intercambia cada cuantificador que atraviesa y niega la fórmula interior con las leyes proposicionales, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argumento es válido cuando la conclusión vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1. Una sola fila con premisas verdaderas y conclusión falsa es un contraejemplo y demuestra que el argumento no es válido.
Desplaza la negación hacia dentro
¬∀x (A(x) → B(x)) ≡ ∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
Respuesta
∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
Las otras opciones dejan un cuantificador sin cambiar, cambian el orden de los cuantificadores o niegan mal la fórmula interior.
3.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: región 4
Conjuntos y diagramas de Venn: A ∪ B contiene los elementos que están en A o en B (o en ambos), A ∩ B los elementos que están en ambos, A − B los elementos de A que no están en B, y el complemento A′ todo lo de U que no está en A. En un diagrama de Venn toda expresión de conjuntos es una unión de regiones, así que cuéntala región por región. Inclusión–exclusión: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, y |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Dentro o fuera de cada conjunto
A′ ∩ B ∩ C′
La región
región 4
Respuesta
región 4
4.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: |R| = 33
Relaciones: una relación R en un conjunto X es un conjunto de pares ordenados (x, y). R es reflexiva cuando (x, x) ∈ R para todo x de X; simétrica cuando (x, y) ∈ R siempre va acompañado de (y, x) ∈ R; antisimétrica cuando (x, y) y (y, x) están ambos en R solo si x = y; y transitiva cuando (x, y) y (y, z) en R obligan a que (x, z) ∈ R. Una relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva, y divide X en clases disjuntas.
Pares por clase
|R| = 4² + 4² + 1² = 33
Respuesta
|R| = 33
5.Teoría de grafos
Respuesta: k = 4
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Aristas de un árbol generador
15 − 1 = 14
Aristas que quitar
k = 18 − 14 = 4
Respuesta
k = 4
6.Teoría de grafos
Respuesta: arista BD
Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.
Algoritmo de Kruskal
1. CE (4)
2. DE (7)
3. AB (9)
4. BD (10)
arista número 4
BD
Respuesta
arista BD
7.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: 35−1 mod 93 = 8
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides extendido
Cada resto r se escribe como r ≡ t·35 (mod 93).
r = 93, t = 0
r = 35, q = 2, t = 1
r = 23, q = 1, t = −2
r = 12, q = 1, t = 3
r = 11, q = 1, t = −5
r = 1, q = 11, t = 8
Inversa
1 ≡ 8·35 (mod 93)
x = 8
comprobación: 35·8 = 280 = 3·93 + 1
Respuesta
35−1 mod 93 = 8
8.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: N = 5
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).