Dibuja un diagrama de Venn y decide región por región qué pertenece a la expresión de conjuntos.
En los problemas de recuento, rellena las regiones desde el centro hacia fuera: primero todos los conjuntos, luego los pares, después los conjuntos sueltos y por último el exterior.
Usa la inclusión–exclusión como comprobación: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
En una relación, comprueba cada propiedad en todos los pares y da un contraejemplo cuando falle.
En una función, cuenta las flechas que llegan a cada elemento de B: como mucho una significa inyectiva, al menos una, sobreyectiva.
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
Teoría de números y aritmética modular
División con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo común múltiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruencia lineal
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Función φ de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduce primero cada número módulo n; los restos están entre 0 y n − 1.
Para un mcd, divide repetidamente con el algoritmo de Euclides; el último resto distinto de cero es el mcd.
Para un inverso, aplica el algoritmo extendido y quédate con el coeficiente de a; suma n si es negativo.
Resuelve a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combina dos congruencias escribiendo x = r₁ + m₁k.
Para las potencias, escribe el exponente en binario y eleva al cuadrado repetidamente; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Problemas de práctica
1.Lógica proposicional y demostracionesMedia
¿Qué fórmula es lógicamente equivalente a c → a? Haz clic en ella.
c → a
1¬c ∨ a
2c ∨ ¬a
3¬c → ¬a
4¬c ∧ a
2.Lógica proposicional y demostracionesDifícil
Se dan las premisas (a ∧ b) → c; a; ¬c. ¿Qué conclusión se sigue de ellas? Haz clic en ella.
(a ∧ b) → ca¬c
1b
2b ∧ ¬c
3c
4¬b
3.Conjuntos, relaciones y funcionesMedia
Exactamente una región del diagrama de Venn es el conjunto (B ∩ A) ∩ (C − A′). Haz clic en su número.
(B ∩ A) ∩ (C − A′)
1región 1
2región 2
3región 3
4región 4
5región 5
6región 6
7región 7
8región 8
4.Conjuntos, relaciones y funcionesDifícil
El diagrama de flechas muestra una función f: A → B con A = {1, 2} y B = {a, b, c}. Haz clic en la descripción que corresponde a f.
f = {(1, a), (2, b)}
1inyectiva, no sobreyectiva
2sobreyectiva, no inyectiva
3biyectiva
4ninguna de las dos
5.Teoría de grafosMedia
Un grafo conexo tiene 9 vértices y 13 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?
|V| = 9|E| = 13
k =
6.Teoría de grafosDifícil
Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.
inicio: Afin: F
d(F) =
7.Teoría de números y aritmética modularMedia
Halla el inverso de 5 módulo 59: el número x con 0 < x < 59 y 5·x ≡ 1 (mod 59).
a = 5n = 59
5−1 mod 59 =
8.Teoría de números y aritmética modularDifícil
¿Cuántas soluciones, N, tiene 14x ≡ 7 (mod 21) en {0, 1, …, 20}?
14x ≡ 7 (mod 21)
N =
3Disoluciones
1.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: ¬c ∨ a
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La ley
a → b vale 0 solo cuando a = 1 y b = 0, así que es lo mismo que ¬a ∨ b.
c → a ≡ ¬c ∨ a
Comprueba con la tabla de verdad
a = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 0
a = 1, c = 0: 1 | 1 0 0 1
a = 0, c = 1: 0 | 0 1 1 0
a = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 0
Respuesta
¬c ∨ a
Las columnas después de la barra son las opciones, en el orden mostrado.
2.Lógica proposicional y demostraciones
Respuesta: ¬b
Cuantificadores y argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) y ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Desplaza la negación hacia dentro, intercambia cada cuantificador que atraviesa y niega la fórmula interior con las leyes proposicionales, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argumento es válido cuando la conclusión vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1. Una sola fila con premisas verdaderas y conclusión falsa es un contraejemplo y demuestra que el argumento no es válido.
Filas con todas las premisas verdaderas
a = 1, b = 0, c = 0: b = 0, b ∧ ¬c = 0, c = 0, ¬b = 1
Conclusión
¬b (modus tollens con una conjunción)
Respuesta
¬b
3.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: región 6
Conjuntos y diagramas de Venn: A ∪ B contiene los elementos que están en A o en B (o en ambos), A ∩ B los elementos que están en ambos, A − B los elementos de A que no están en B, y el complemento A′ todo lo de U que no está en A. En un diagrama de Venn toda expresión de conjuntos es una unión de regiones, así que cuéntala región por región. Inclusión–exclusión: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, y |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Dentro o fuera de cada conjunto
A ∩ B ∩ C
La región
región 6
Respuesta
región 6
4.Conjuntos, relaciones y funciones
Respuesta: inyectiva, no sobreyectiva
Funciones y recuento: una función f: A → B da a cada elemento de A exactamente una imagen en B. f es inyectiva (uno a uno) cuando elementos distintos tienen imágenes distintas, sobreyectiva cuando todo elemento de B es una imagen, y biyectiva cuando se cumplen ambas. Con |A| = m y |B| = n hay nᵐ funciones, n!/(n − m)! inyectivas (m ≤ n) y, por inclusión–exclusión, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobreyectivas. |𝒫(A)| = 2ᵐ y |A × B| = m·n.
¿Inyectiva?
cada elemento de B recibe como mucho una flecha → inyectiva
¿Sobreyectiva?
c no recibe ninguna flecha → no sobreyectiva
Respuesta
inyectiva, no sobreyectiva
Respuesta
inyectiva, no sobreyectiva
5.Teoría de grafos
Respuesta: k = 5
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Aristas de un árbol generador
9 − 1 = 8
Aristas que quitar
k = 13 − 8 = 5
Respuesta
k = 5
6.Teoría de grafos
Respuesta: d(F) = 22
Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.
Dijkstra ronda a ronda
Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.
A (0): B: 3
B (3): C: 4, D: 11, E: 14
C (4): E: 7
E (7): F: 22
D (11)
F (22)
Camino más corto
A → B → C → E → F
d(F) = 22
Respuesta
d(F) = 22
7.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: 5−1 mod 59 = 12
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides extendido
Cada resto r se escribe como r ≡ t·5 (mod 59).
r = 59, t = 0
r = 5, q = 11, t = 1
r = 4, q = 1, t = −11
r = 1, q = 4, t = 12
Inversa
1 ≡ 12·5 (mod 59)
x = 12
comprobación: 5·12 = 60 = 1·59 + 1
Respuesta
5−1 mod 59 = 12
8.Teoría de números y aritmética modular
Respuesta: N = 7
Inversos y congruencias: a tiene inverso módulo n exactamente cuando mcd(a, n) = 1. El algoritmo de Euclides extendido escribe 1 = s·n + t·a, y entonces a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruencia a·x ≡ b (mod n) con mcd(a, n) = 1 tiene la solución x ≡ a⁻¹·b. Dos congruencias x ≡ r₁ (mod m₁) y x ≡ r₂ (mod m₂) con módulos coprimos tienen una solución módulo m₁·m₂ (teorema chino del resto). La φ(n) de Euler cuenta los números de 1 a n que son coprimos con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).