Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Un coche que circula a 23 m/s constantes, por encima del límite, adelanta a un coche de policía parado. En ese momento el coche de policía arranca y acelera uniformemente a 4,5 m/s². ¿A qué distancia de su punto de partida lo alcanza el coche de policía? Halla d.
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba a 17 m/s desde el borde de un tejado situado a 30 m sobre el suelo. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². ¿Cuánto tiempo después del lanzamiento llega al suelo? Halla t.
Se arrastra un trineo de 35 kg por nieve horizontal con una cuerda a 35° por encima de la horizontal y una fuerza de 170 N. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,1. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a del trineo.
Un bloque de 7,5 kg sobre una rampa de 40° está unido mediante un hilo ligero, que pasa por una polea sin rozamiento en lo alto de la rampa, a una masa colgante de 7 kg. La masa colgante baja. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y la rampa es 0,2. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T de la cuerda.
Se lanza una pelota desde un terreno horizontal a 36 m/s y debe caer a 50 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla el menor de los dos ángulos de lanzamiento posibles θ.
Se lanza una pelota a 19 m/s y 20° por encima de la horizontal desde lo alto de un acantilado de 10 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la altura máxima H sobre el suelo al pie del acantilado.
Un coche toma una curva plana de 70 m de radio. El coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la carretera es 0,5. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax a la que el coche puede tomar la curva sin derrapar.
Una vagoneta de 0,5 kg se suelta desde el reposo a una altura de 24,75 m sobre una pista sin rozamiento y recorre un rizo vertical de radio 7,5 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la fuerza normal Nbottom de la pista sobre la vagoneta en la parte inferior del rizo.
Un bloque de 5 kg desliza 6 m por una rampa inclinada 25° respecto a la horizontal, con un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,2. Halla el trabajo Wf realizado contra el rozamiento.
Un muelle de rigidez 500 N/m situado al pie de una pendiente de 35° se comprime 12 cm contra un bloque de 0,5 kg y se suelta. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y la pendiente es 0,1. ¿Qué distancia d recorre el bloque pendiente arriba desde el punto de suelta hasta detenerse? (Desprecia el corto tramo en el que empuja el muelle, es decir, aplica el rozamiento y la gravedad a toda la distancia d.)
Una bala de 20 g se dispara horizontalmente contra un bloque de madera de 2 kg que cuelga de hilos ligeros, y se queda incrustada en él. El bloque oscila hacia arriba hasta quedar 14 cm más alto que al principio. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v de la bala antes del impacto.
Una bala de 8 g se dispara horizontalmente contra un bloque de 1,5 kg que cuelga de hilos ligeros de 1,5 m de longitud, y se queda incrustada en él. Los hilos oscilan hasta un ángulo máximo de 15° con la vertical. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v de la bala antes del impacto.
Una barra esbelta uniforme de masa 7,5 kg y longitud 2,2 m está articulada por un extremo y se mantiene horizontal. Se suelta desde el reposo. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración atip del extremo libre justo después de soltarla.
Una barra esbelta uniforme de masa 7 kg y longitud 1 m cuelga en reposo de un pivote sin rozamiento en su extremo superior. Una bala de 40 g que se mueve horizontalmente a 500 m/s golpea la barra 0,95 m por debajo del pivote y queda incrustada. Halla la velocidad angular ω de la barra justo después del impacto.
Un motor de 1,1 kW que gira a 960 rpm acciona un piñón de 24 dientes, que engrana con una rueda de 36 dientes. El par de engranajes tiene un rendimiento del 97 %. Halla el par T1 en el eje del motor.
En un tren de engranajes compuesto, el engranaje A (12 dientes), en el eje de entrada que gira a 2900 rpm, acciona el engranaje B (60 dientes). El engranaje C (30 dientes) está fijado al mismo eje que B y acciona el engranaje D (40 dientes) del eje de salida. Halla la velocidad de salida nout.
¿Qué longitud debe tener un péndulo simple para que su periodo sea de 1,7 s? Usa g = 9,81 m/s². Halla L.
Una masa de 0,2 kg unida a un muelle con k = 160 N/m se separa 10 cm de la posición de equilibrio y se suelta. Halla su aceleración máxima amax.
En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 50 mm le sigue 3 ciclos después un pico de 11 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 10 kg cuelga de dos muelles unidos uno tras otro (en serie): el muelle superior tiene k₁ = 80 kN/m y el inferior k₂ = 60 kN/m. Halla la rigidez equivalente keq del sistema de muelles en kN/m.
Respuesta: d = 235,1 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
En ese momento el coche de policía va a 2v = 46 m/s.
Respuesta: t = 4,753 s
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Hacia arriba es positivo y el suelo está h₀ por debajo del punto de partida.
Solo la raíz positiva tiene sentido físico.
Respuesta: a = 3,276 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Respuesta: T = 63,79 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Respuesta: θ = 11,12 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
La otra solución es 90° − θ = 78,88°.
Respuesta: H = 12,15 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Respuesta: vmax = 18,53 m/s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Respuesta: Nbottom = 37,28 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Hacia el centro es positivo.
Respuesta: Wf = 53,35 J
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Respuesta: d = 1,12 m
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Respuesta: v = 167,4 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Respuesta: v = 188,8 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Respuesta: atip = 14,71 m/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
En el instante de soltarla ω = 0, así que no hay aceleración centrípeta y el centro acelera directamente hacia abajo.
atip = 1,5·g para cualquier longitud: el extremo libre cae más rápido que una piedra soltada.
Respuesta: ω = 8,019 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
La fuerza del pivote pasa por el pivote, así que no tiene momento allí durante el impacto.
Respuesta: T1 = 10,94 N·m
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Respuesta: nout = 435 rpm
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
relación total = 6,667 : 1
Respuesta: L = 0,7181 m
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: amax = 80 m/s²
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: ζ = 0,08007
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Respuesta: keq = 34,29 kN/m
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles en serie soportan la misma fuerza y suman sus deformaciones, así que se combinan como inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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