Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Un coche que circula a 34 m/s constantes, por encima del límite, adelanta a un coche de policía parado. En ese momento el coche de policía arranca y acelera uniformemente a 5,5 m/s². ¿A qué distancia de su punto de partida lo alcanza el coche de policía? Halla d.
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba a 5 m/s desde el borde de un tejado situado a 30 m sobre el suelo. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². ¿Cuánto tiempo después del lanzamiento llega al suelo? Halla t.
Un bloque de 17 kg baja deslizando por una rampa inclinada 20° respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,1. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a del bloque a lo largo de la rampa.
Dos bloques sobre un suelo horizontal están unidos por un hilo ligero horizontal. Una fuerza horizontal de 110 N tira del bloque delantero de 6 kg; el bloque de 4 kg va remolcado detrás. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,15 para ambos bloques. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a de los bloques.
Se lanza una pelota desde un terreno horizontal a 28 m/s y debe caer a 75 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla el menor de los dos ángulos de lanzamiento posibles θ.
Se lanza una pelota desde el nivel del suelo a 39 m/s y 45° por encima de la horizontal. Cae, ya bajando, sobre la azotea plana de un edificio de 21 m de altura. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la distancia horizontal x desde el punto de lanzamiento hasta donde cae.
En un rotor de feria, los pasajeros se colocan contra la pared de un cilindro vertical de radio 3 m. Cuando gira lo bastante rápido, el suelo baja y el rozamiento los sostiene. El coeficiente de rozamiento estático es 0,7. Usa g = 9,81 m/s². Halla la frecuencia de giro mínima n en revoluciones por minuto.
Se hace girar en una circunferencia vertical una bola de 1,7 kg atada a una cuerda de 1,3 m. En el punto más bajo se mueve a 5 m/s. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T de la cuerda en el punto más bajo.
Un coche que circula a 50 km/h por una carretera horizontal frena bruscamente y derrapa hasta detenerse con las ruedas bloqueadas. El coeficiente de rozamiento dinámico entre neumáticos y carretera es 0,6. Halla la distancia de frenado d.
Un bloque de 2 kg parte del reposo al pie de una pendiente de 25° y se tira de él pendiente arriba con una fuerza constante de 30 N paralela a la pendiente. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,25. Halla la velocidad v del bloque tras recorrer 8 m pendiente arriba.
Un deslizador de 4,5 kg que se mueve a 11 m/s choca frontalmente, de forma perfectamente elástica, con un deslizador de 4 kg en reposo sobre un carril sin rozamiento. Halla la velocidad v′2 del segundo deslizador después del choque.
Una bala de 20 g se dispara horizontalmente contra un bloque de 1 kg que cuelga de hilos ligeros de 1,3 m de longitud, y se queda incrustada en él. Los hilos oscilan hasta un ángulo máximo de 25° con la vertical. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v de la bala antes del impacto.
Una barra esbelta uniforme de masa 5 kg y longitud 2,2 m está articulada por un extremo y se suelta desde el reposo en posición horizontal. Una pequeña bola de masa 1 kg está fijada a su extremo libre. Ignora el rozamiento y usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad angular ω de la barra cuando pasa por la posición vertical.
Una barra esbelta uniforme de masa 4,5 kg y longitud 1,1 m cuelga en reposo de un pivote sin rozamiento en su extremo superior. Una bala de 5 g que se mueve horizontalmente a 400 m/s golpea la barra 0,64 m por debajo del pivote y queda incrustada. Usa g = 9,81 m/s². Halla el mayor ángulo φ respecto a la vertical que alcanza la barra al oscilar.
Una correa pasa por una polea motriz de 120 mm a 1500 rpm. La tensión es de 600 N en el ramal tenso y de 180 N en el ramal flojo. Halla la potencia P transmitida, en kW.
Un motor de 4 kW a 1450 rpm acciona la rueda A (12 dientes), que engrana con la rueda B (40 dientes). La rueda C (32 dientes), en el mismo eje que B, acciona la rueda D (48 dientes) en el eje de salida. Cada engrane tiene un rendimiento del 95 %. Halla el par de salida Tout.
Una masa de 2,9 kg unida a un muelle con k = 290 N/m se desplaza 8 cm en sentido positivo y se suelta desde el reposo en t = 0. Halla su desplazamiento x respecto al equilibrio en t = 0,6 s (con signo).
Una masa unida a un muelle con k = 120 N/m oscila sobre una superficie sin rozamiento con una amplitud de 20 cm. Halla la energía U almacenada en el muelle cuando la masa está a 15 cm del equilibrio.
En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 25 mm le sigue 5 ciclos después un pico de 7,1 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 25 kg cuelga de dos muelles unidos uno tras otro (en serie): el muelle superior tiene k₁ = 100 kN/m y el inferior k₂ = 15 kN/m. Halla la rigidez equivalente keq del sistema de muelles en kN/m.
Respuesta: d = 420,4 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
En ese momento el coche de policía va a 2v = 68 m/s.
Respuesta: t = 3,035 s
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Hacia arriba es positivo y el suelo está h₀ por debajo del punto de partida.
Solo la raíz positiva tiene sentido físico.
Respuesta: a = 2,433 m/s²
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Rampa abajo es positivo.
Respuesta: a = 9,528 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Respuesta: θ = 34,9 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
La otra solución es 90° − θ = 55,1°.
Respuesta: x = 130 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Raíz mayor: la pelota está bajando.
Respuesta: n = 20,64 rpm
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Respuesta: T = 49,37 N
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Hacia el centro (hacia arriba) es positivo.
Respuesta: d = 16,39 m
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Duplicar la velocidad cuadruplica la distancia de frenado.
Respuesta: v = 11,75 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Respuesta: v′2 = 11,65 m/s
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Resolver a la vez la conservación de la cantidad de movimiento y la de la energía da estos dos resultados.
Respuesta: v = 78,84 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Respuesta: ω = 3,421 rad/s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Respuesta: φ = 11,05 °
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
La fuerza del pivote pasa por el pivote, así que no tiene momento allí durante el impacto.
Respuesta: P = 3,958 kW
Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = eμθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.
Respuesta: Tout = 118,9 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Respuesta: x = 7,681 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Respuesta: U = 1,35 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Respuesta: ζ = 0,04004
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Respuesta: keq = 13,04 kN/m
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles en serie soportan la misma fuerza y suman sus deformaciones, así que se combinan como inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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