Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Un avión parte del reposo y acelera uniformemente a 2,5 m/s² por una pista. Halla su velocidad v tras recorrer 1200 m.
Un cohete de modelismo se lanza verticalmente hacia arriba desde el reposo. Su motor le da una aceleración constante hacia arriba de 30 m/s² durante 1 s; después el motor se apaga y el cohete se mueve libremente. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². ¿Cuánto tiempo después del lanzamiento llega al suelo? Halla t.
Se empuja una caja de 5 kg rampa arriba, con una inclinación de 30° respecto a la horizontal, a velocidad constante, mediante una fuerza paralela a la rampa. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,15. Usa g = 9,81 m/s². Halla la fuerza de empuje F.
Un bloque de 3 kg sobre una mesa horizontal está unido, mediante una cuerda ligera que pasa por una polea sin rozamiento, a una masa colgante de 3 kg. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y la mesa es 0,1. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T de la cuerda.
Se lanza una pelota desde un terreno horizontal a 15° por encima de la horizontal y cae a 70 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad de lanzamiento v0.
Se lanza una pelota a 45° sobre la horizontal desde lo alto de un acantilado de 20 m. Desprecia la resistencia del aire. Halla el tiempo de vuelo t hasta que la pelota toca el suelo.
Un coche toma una curva plana de 130 m de radio. El coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la carretera es 0,3. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax a la que el coche puede tomar la curva sin derrapar.
Se hace girar en una circunferencia vertical una bola de 1,8 kg atada a una cuerda de 0,7 m. En el punto más bajo se mueve a 7 m/s. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T de la cuerda en el punto más bajo.
Un bloque baja desde el reposo por una rampa inclinada 20° respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,1. Halla su velocidad v tras deslizar 7 m por la rampa.
Se suelta desde el reposo un bloque de 4 kg a una altura de 1 m en una rampa lisa. Abajo cruza una franja horizontal rugosa de 4,5 m (μ = 0,1) y después choca contra un muelle (k = 1500 N/m) sobre una superficie lisa. Halla la velocidad v del bloque cuando llega al muelle.
Un coche de 1600 kg que se mueve a 22 m/s choca con un coche parado de 1300 kg y ambos quedan unidos. ¿Cuánta energía cinética ΔK se pierde en el choque?
En un cruce, un coche de 1500 kg que circula hacia el este a 15 m/s choca con un coche de 900 kg que circula hacia el norte a 11 m/s. Los coches quedan unidos. Halla la dirección θ de los restos justo después del choque, medida desde el este hacia el norte.
Una barra esbelta uniforme de masa 13,5 kg y longitud 3 m está articulada por un extremo y se mantiene horizontal. Se suelta desde el reposo. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración atip del extremo libre justo después de soltarla.
Un cuerpo (esfera maciza) de masa 7,5 kg rueda sin deslizar a 4,5 m/s. ¿Qué porcentaje p de su energía cinética total es de rotación?
Dos ejes paralelos están a 108 mm de distancia. Deben unirse mediante un par de ruedas dentadas rectas de módulo 3 mm y una reducción de velocidad de 3 : 1. ¿Cuántos dientes N2 debe tener la rueda?
En un tren de engranajes compuesto, el engranaje A (15 dientes), en el eje de entrada que gira a 1440 rpm, acciona el engranaje B (48 dientes). El engranaje C (16 dientes) está fijado al mismo eje que B y acciona el engranaje D (45 dientes) del eje de salida. Halla la velocidad de salida nout.
Un péndulo simple tiene una longitud de 2,4 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla su periodo T para oscilaciones pequeñas.
Una masa unida a un muelle con k = 90 N/m oscila sobre una superficie sin rozamiento con una amplitud de 14 cm. Halla su energía cinética K cuando está a 4 cm del equilibrio.
En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 25 mm le sigue un ciclo después un pico de 18,3 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 10 kg cuelga de dos muelles unidos uno tras otro (en serie): el muelle superior tiene k₁ = 10 kN/m y el inferior k₂ = 50 kN/m. Desprecia el amortiguamiento y las masas de los muelles. Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
Respuesta: v = 77,46 m/s
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Respuesta: t = 7,581 s
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Resuelve −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² y toma la raíz positiva.
Respuesta: F = 30,9 N
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Velocidad constante: las fuerzas se equilibran.
Respuesta: T = 16,19 N
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Respuesta: v0 = 37,06 m/s
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
Respuesta: t = 4,27 s
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
Resuelve y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 y toma la raíz positiva.
Respuesta: vmax = 19,56 m/s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Respuesta: T = 143,7 N
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Hacia el centro (hacia arriba) es positivo.
Respuesta: v = 5,837 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
El bloque baja una altura d·sin θ mientras el rozamiento le quita μmg·cos θ·d. La masa se cancela.
Respuesta: v = 3,285 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
La rampa es lisa, así que solo la franja quita energía.
Respuesta: ΔK = 173572 J
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
La energía perdida se convierte en deformación, calor y sonido.
Respuesta: θ = 23,75 °
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Respuesta: atip = 14,71 m/s²
Rotación alrededor de un eje fijo: la suma de los momentos respecto al eje es igual a I·α (ΣM = I·α), igual que ΣF = m·a en la traslación. En forma de energía, un par T que gira un ángulo θ (en radianes) realiza un trabajo T·θ, que cambia la energía cinética ½·I·ω²; la gravedad suma o resta m·g·Δh del centro de masa. La potencia es P = T·ω.
En el instante de soltarla ω = 0, así que no hay aceleración centrípeta y el centro acelera directamente hacia abajo.
atip = 1,5·g para cualquier longitud: el extremo libre cae más rápido que una piedra soltada.
Respuesta: p = 28,57 %
Rodadura y momento angular: un cuerpo que rueda sin deslizar tiene v = ω·r, así que su energía cinética es ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Por una pendiente eso da a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Cuando no actúa ningún momento externo respecto a un eje, el momento angular respecto a ese eje se mantiene constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, aunque se pierda energía cinética.
La proporción depende solo de la forma, no de la masa ni de la velocidad.
Respuesta: N2 = 54
Geometría de engranajes: el módulo m fija el tamaño del diente. Una rueda con N dientes tiene un diámetro primitivo d = m·N, dos ruedas que engranan tienen el mismo módulo, y su distancia entre centros es a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. La velocidad en la circunferencia primitiva es v = π·d·n/60, y la fuerza tangencial en el diente se obtiene del par: Ft = 2T/d.
Respuesta: nout = 160 rpm
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
relación total = 9 : 1
Respuesta: T = 3,108 s
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: K = 0,81 J
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: ζ = 0,04959
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Respuesta: fn = 4,594 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles en serie soportan la misma fuerza y suman sus deformaciones, así que se combinan como inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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