Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Un coche que circula a 33 m/s constantes, por encima del límite, adelanta a un coche de policía parado. En ese momento el coche de policía arranca y acelera uniformemente a 5 m/s². ¿Cuánto tarda el coche de policía en alcanzarlo? Halla t.
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba a 6 m/s desde el borde de un tejado situado a 35 m sobre el suelo. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la altura máxima hmax sobre el suelo.
Un bloque de 18 kg baja deslizando por una rampa inclinada 45° respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,1. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a del bloque a lo largo de la rampa.
Dos bloques sobre un suelo horizontal están unidos por un hilo ligero horizontal. Una fuerza horizontal de 25 N tira del bloque delantero de 2 kg; el bloque de 4 kg va remolcado detrás. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,2 para ambos bloques. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T del hilo de unión.
Se lanza una pelota a 60° sobre la horizontal desde el suelo llano. Desprecia la resistencia del aire. Halla la altura máxima H que alcanza la pelota.
Se lanza una pelota a 22 m/s y 55° por encima de la horizontal desde lo alto de un acantilado de 40 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². ¿Con qué ángulo α por debajo de la horizontal llega al suelo?
Una bolita sujeta a un hilo de longitud 1,7 m describe una circunferencia horizontal de modo que el hilo forma un ángulo constante de 60° con la vertical (un péndulo cónico). Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v de la bola.
Se hace girar en una circunferencia vertical una bola de 1,1 kg atada a una cuerda de 1,5 m. En el punto más bajo se mueve a 8 m/s. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T de la cuerda en el punto más bajo.
Un coche que circula a 70 km/h por una carretera horizontal frena bruscamente y derrapa hasta detenerse con las ruedas bloqueadas. El coeficiente de rozamiento dinámico entre neumáticos y carretera es 0,6. Halla la distancia de frenado d.
Se suelta desde el reposo un bloque de 4 kg a una altura de 3 m en una rampa lisa. Abajo cruza una franja horizontal rugosa de 1,5 m (μ = 0,3) y después choca contra un muelle (k = 4000 N/m) sobre una superficie lisa. Halla la compresión máxima x del muelle.
Una bala de 5 g se dispara horizontalmente contra un bloque de madera de 2 kg que cuelga de hilos ligeros, y se queda incrustada en él. El bloque oscila hacia arriba hasta quedar 10 cm más alto que al principio. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v de la bala antes del impacto.
Un coche de 1600 kg choca con un coche aparcado de 1300 kg. Los restos quedan unidos y derrapan 20 m antes de detenerse. El coeficiente de rozamiento dinámico entre neumáticos y carretera es 0,7. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v1 del primer coche justo antes del choque.
Un motor entrega un par de 90 N·m a 3000 rpm. Halla su potencia de salida P en kW.
Un cuerpo (aro delgado) rueda sin deslizar por una pendiente inclinada 20° respecto a la horizontal. Usa g = 9,81 m/s². Parte del reposo. ¿Cuánto tiempo t tarda en rodar 9,5 m por la pendiente?
Un motor de 1,1 kW que gira a 1450 rpm acciona un piñón de 15 dientes, que engrana con una rueda de 80 dientes. El par de engranajes tiene un rendimiento del 98 %. Halla el par T1 en el eje del motor.
Una correa abierta conecta una polea de 100 mm y una polea de 200 mm cuyos centros están separados 600 mm. Halla el ángulo de contacto θ en la polea menor, en grados.
Una masa de 0,7 kg unida a un muelle con k = 220 N/m oscila sobre una superficie sin rozamiento con una amplitud de 18 cm. Halla su velocidad v cuando está a 12 cm del equilibrio.
Una masa de 3,3 kg unida a un muelle con k = 200 N/m se separa 11 cm de la posición de equilibrio y se suelta. Halla su velocidad máxima vmax.
En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 10 mm le sigue 4 ciclos después un pico de 3,7 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 25 kg cuelga del muelle k₃ = 40 kN/m. El extremo superior de k₃ está unido a una barra rígida que cuelga de dos muelles uno al lado del otro, k₁ = 30 kN/m y k₂ = 80 kN/m; la barra se mantiene horizontal. Desprecia el amortiguamiento y las masas de los muelles y de la barra. Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
Respuesta: t = 13,2 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
En ese momento el coche de policía va a 2v = 66 m/s.
Respuesta: hmax = 36,83 m
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Respuesta: a = 6,243 m/s²
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Rampa abajo es positivo.
Respuesta: T = 16,67 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Con el mismo μ en ambos bloques, el rozamiento desaparece: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Respuesta: H = 34,4 m
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
En lo más alto la velocidad vertical es cero: vy² = 2gH.
Respuesta: α = 69,25 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Energía, o v² = v₀² + 2as en la dirección vertical.
Respuesta: v = 5,002 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
La tensión y la gravedad juntas dan la fuerza hacia el centro: tan θ = v²/(r·g).
Respuesta: T = 57,72 N
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Hacia el centro (hacia arriba) es positivo.
Respuesta: d = 32,12 m
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Duplicar la velocidad cuadruplica la distancia de frenado.
Respuesta: x = 22,37 cm
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
La rampa es lisa, así que solo la franja quita energía.
Respuesta: v = 561,7 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Respuesta: v1 = 30,04 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Respuesta: P = 28,27 kW
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Respuesta: t = 3,365 s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Respuesta: T1 = 7,244 N·m
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Respuesta: θ = 170,4 °
Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = eμθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.
Respuesta: v = 2,378 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Respuesta: vmax = 0,8563 m/s
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: ζ = 0,03953
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Respuesta: fn = 5,452 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Solo k1 y k2 están en paralelo. Ese par está en serie con k3, así que combínalos como inversos.
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