Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Un coche que circula a 22 m/s constantes, por encima del límite, adelanta a un coche de policía parado. En ese momento el coche de policía arranca y acelera uniformemente a 6 m/s². ¿A qué distancia de su punto de partida lo alcanza el coche de policía? Halla d.
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba a 14 m/s desde el borde de un tejado situado a 35 m sobre el suelo. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la altura máxima hmax sobre el suelo.
Dos masas de 7 kg y 2,5 kg cuelgan a ambos lados de una polea ligera y sin rozamiento, unidas por un hilo ligero. El sistema se suelta desde el reposo. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T de la cuerda.
Se da un empujón a un bloque de modo que empieza a subir por una rampa de 35° con una velocidad de 11,5 m/s. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,15. Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué distancia d recorre por la rampa antes de detenerse?
Se lanza una pelota a 30° sobre la horizontal desde el suelo llano. Desprecia la resistencia del aire. Halla el tiempo de vuelo t hasta que la pelota toca el suelo.
Se lanza una pelota desde el nivel del suelo a 32 m/s y 50° por encima de la horizontal. Cae, ya bajando, sobre la azotea plana de un edificio de 12 m de altura. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la distancia horizontal x desde el punto de lanzamiento hasta donde cae.
En un rotor de feria, los pasajeros se colocan contra la pared de un cilindro vertical de radio 1,5 m. Cuando gira lo bastante rápido, el suelo baja y el rozamiento los sostiene. El coeficiente de rozamiento estático es 0,8. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad angular mínima ω en rad/s.
Se hace girar en una circunferencia vertical una bola de 1,7 kg atada a una cuerda de 0,5 m. En el punto más bajo se mueve a 7 m/s. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T de la cuerda en el punto más bajo.
Un coche de 1500 kg sube por una pendiente de 2° a 54 km/h constantes. La resistencia del aire y la resistencia a la rodadura suman en total 800 N. Halla la potencia P que deben entregar las ruedas, en kW.
Un bloque de 8 kg parte del reposo al pie de una pendiente de 35° y se tira de él pendiente arriba con una fuerza constante de 70 N paralela a la pendiente. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,2. Halla la velocidad v del bloque tras recorrer 7 m pendiente arriba.
Un proyectil de 17 kg que se mueve horizontalmente a 27 m/s explota en dos fragmentos que se mueven a lo largo de la misma recta. El fragmento de 8 kg sigue hacia delante a 68 m/s. Halla la velocidad v′2 del fragmento de 9 kg (positiva en el sentido original).
Una pelota de 0,35 kg golpea una pared a 15 m/s y rebota en línea recta hacia atrás a 15 m/s. El contacto dura 50 ms. Halla la fuerza media Favg que ejerce la pared sobre la pelota.
Un volante de inercia con un momento de inercia de 1 kg·m² gira a 1800 rpm. Un freno aplica un par de rozamiento constante de 25 N·m. ¿Cuánto tiempo t tarda en detenerse?
Un cuerpo (esfera maciza) de masa 1,5 kg rueda sin deslizar a 3,5 m/s. Halla su energía cinética total Ek.
Un motor de 11 kW que gira a 1500 rpm acciona un piñón de 18 dientes, que engrana con una rueda de 36 dientes. El par de engranajes tiene un rendimiento del 97 %. Halla el par T1 en el eje del motor.
En un tren epicicloidal el planeta (sol) tiene 30 dientes y cada satélite tiene 15 dientes. El portasatélites se mantiene fijo y el planeta se acciona a 1500 rpm. Halla la velocidad nr de la corona (en valor absoluto).
¿Qué longitud debe tener un péndulo simple para que su periodo sea de 2,1 s? Usa g = 9,81 m/s². Halla L.
Una masa de 2,3 kg se une al extremo inferior de un muelle vertical sin estirar con k = 290 N/m y se suelta desde el reposo. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax de la masa.
En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 30 mm le sigue un ciclo después un pico de 20,6 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 40 kg cuelga de dos muelles uno al lado del otro (en paralelo), con rigideces k₁ = 60 kN/m y k₂ = 20 kN/m. La masa se mantiene horizontal. Desprecia el amortiguamiento y las masas de los muelles. Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
Respuesta: d = 161,3 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
En ese momento el coche de policía va a 2v = 44 m/s.
Respuesta: hmax = 44,99 m
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Respuesta: T = 36,14 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
La fuerza motriz neta es la diferencia de los pesos; mueve la masa total.
Respuesta: d = 9,678 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Ambas fuerzas apuntan rampa abajo; la masa se simplifica.
Respuesta: t = 1,427 s
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
Sale y cae a la misma altura: t = 2vy/g.
Respuesta: x = 91,48 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Raíz mayor: la pelota está bajando.
Respuesta: ω = 2,859 rad/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Respuesta: T = 183,3 N
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Hacia el centro (hacia arriba) es positivo.
Respuesta: P = 19,7 kW
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d). La potencia es la fuerza por la velocidad: P = F·v.
Respuesta: v = 4,607 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Respuesta: v′2 = −9,444 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
El signo menos significa que el segundo fragmento sale despedido hacia atrás.
Respuesta: Favg = 210 N
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Respuesta: t = 7,54 s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Respuesta: Ek = 12,86 J
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Respuesta: T1 = 70,03 N·m
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Respuesta: nr = 750 rpm
Trenes epicicloidales: las velocidades del planeta, la corona y el portasatélites están relacionadas por la ecuación de Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: vistos desde el portasatélites, el conjunto es un tren ordinario con los satélites como ruedas locas. Al fijar un elemento, el conjunto se convierte en un reductor de una sola relación.
Con nc = 0 el planeta acciona la corona a través de los satélites, que actúan como ruedas locas.
La corona gira en sentido contrario al planeta.
Respuesta: L = 1,096 m
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: vmax = 0,8736 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
La velocidad es máxima en el equilibrio.
Respuesta: ζ = 0,05972
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Respuesta: fn = 7,118 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles uno al lado del otro comparten la deformación y suman sus fuerzas, así que sus rigideces simplemente se suman: k = k1 + k2.
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