Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Un avión parte del reposo y acelera uniformemente a 1,75 m/s² por una pista. Halla su velocidad v tras recorrer 700 m.
Un tranvía parte del reposo y acelera a 2,5 m/s² durante 12 s, después circula a velocidad constante durante 23 s y por último frena a 5 m/s² hasta detenerse. Halla la distancia total s entre las dos paradas.
Una caja desliza por un suelo horizontal con una velocidad inicial de 3 m/s y se detiene tras 2,3 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla el coeficiente de rozamiento dinámico μ.
Un bloque de 2 kg sobre una mesa horizontal está unido, mediante una cuerda ligera que pasa por una polea sin rozamiento, a una masa colgante de 4,5 kg. La mesa no tiene rozamiento. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a del sistema.
Se lanza una pelota a 25° sobre la horizontal desde el suelo llano. Desprecia la resistencia del aire. Halla la altura máxima H que alcanza la pelota.
Se lanza una pelota a 22 m/s y 35° por encima de la horizontal desde lo alto de un acantilado de 40 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v con la que llega al suelo.
Un coche toma una curva plana de 95 m de radio. El coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la carretera es 0,7. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax a la que el coche puede tomar la curva sin derrapar.
Una curva de radio 300 m tiene un peralte de 18°, y el coeficiente de rozamiento estático entre neumáticos y carretera es 0,4. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax a la que un coche puede tomar la curva sin deslizar hacia arriba y hacia fuera.
Un bloque baja desde el reposo por una rampa inclinada 25° respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,3. Halla su velocidad v tras deslizar 14 m por la rampa.
Se suelta desde el reposo un bloque de 1 kg a una altura de 3 m en una rampa lisa. Abajo cruza una franja horizontal rugosa de 3,5 m (μ = 0,25) y después choca contra un muelle (k = 500 N/m) sobre una superficie lisa. Halla la compresión máxima x del muelle.
Un coche de 1800 kg que se mueve a 25 m/s choca con un coche parado de 1900 kg y ambos quedan unidos. ¿Cuánta energía cinética ΔK se pierde en el choque?
En un cruce, un coche de 1900 kg que circula hacia el este a 21 m/s choca con un coche de 1900 kg que circula hacia el norte a 23 m/s. Los coches quedan unidos. Halla la velocidad v′ de los restos justo después del choque.
Una barra esbelta uniforme de masa 17,5 kg y longitud 0,7 m está articulada por un extremo y se mantiene horizontal. Se suelta desde el reposo. Usa g = 9,81 m/s². Halla la fuerza vertical R que el pasador ejerce sobre la barra justo después de soltarla.
Un cuerpo (esfera maciza) rueda sin deslizar por una pendiente inclinada 25° respecto a la horizontal. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a de su centro.
Una correa pasa por una polea motriz de 80 mm a 1500 rpm. La tensión es de 800 N en el ramal tenso y de 160 N en el ramal flojo. Halla la potencia P transmitida, en kW.
En un tren epicicloidal el planeta (sol) tiene 20 dientes y cada satélite tiene 20 dientes. La corona se mantiene fija y el planeta se acciona a 1440 rpm. Halla la velocidad nc del portasatélites.
Una astronauta en otro planeta comprueba que un péndulo simple de 0,6 m de longitud tiene un periodo de 1,45 s para oscilaciones pequeñas. Halla la aceleración de la gravedad g en ese planeta.
Una masa de 0,8 kg unida a un muelle con k = 240 N/m se separa 12 cm de la posición de equilibrio y se suelta. Halla la energía total E de la oscilación.
Una masa de 10 kg está soportada por un muelle con una rigidez de 8 kN/m y un amortiguador viscoso con un coeficiente de amortiguamiento de 340 N·s/m. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 5 kg cuelga del muelle k₃ = 50 kN/m. El extremo superior de k₃ está unido a una barra rígida que cuelga de dos muelles uno al lado del otro, k₁ = 12 kN/m y k₂ = 25 kN/m; la barra se mantiene horizontal. Desprecia el amortiguamiento y las masas de los muelles y de la barra. Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
Respuesta: v = 49,5 m/s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Respuesta: s = 960 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Respuesta: μ = 0,1994
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Respuesta: a = 6,792 m/s²
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Respuesta: H = 10,52 m
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
En lo más alto la velocidad vertical es cero: vy² = 2gH.
Respuesta: v = 35,62 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Energía, o v² = v₀² + 2as en la dirección vertical.
Comprobación con la energía: v² = v₀² + 2gh.
Respuesta: vmax = 25,54 m/s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Respuesta: vmax = 49,52 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
El rozamiento apunta pendiente abajo.
Respuesta: v = 6,434 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
El bloque baja una altura d·sin θ mientras el rozamiento le quita μmg·cos θ·d. La masa se cancela.
Respuesta: x = 28,88 cm
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
La rampa es lisa, así que solo la franja quita energía.
Respuesta: ΔK = 288851 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
La energía perdida se convierte en deformación, calor y sonido.
Respuesta: v′ = 15,57 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Respuesta: R = 42,92 N
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
En el instante de soltarla ω = 0, así que no hay aceleración centrípeta y el centro acelera directamente hacia abajo.
R = m·g/4, independiente de la longitud.
Respuesta: a = 2,961 m/s²
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Respuesta: P = 4,021 kW
Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = eμθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.
Respuesta: nc = 360 rpm
Trenes epicicloidales: las velocidades del planeta, la corona y el portasatélites están relacionadas por la ecuación de Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: vistos desde el portasatélites, el conjunto es un tren ordinario con los satélites como ruedas locas. Al fijar un elemento, el conjunto se convierte en un reductor de una sola relación.
Haz nr = 0 y despeja la velocidad del portasatélites.
El portasatélites gira en el mismo sentido que el planeta.
Respuesta: g = 11,27 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Respuesta: E = 1,728 J
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: ζ = 0,601
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, así que el sistema es subamortiguado y oscila mientras se amortigua.
Respuesta: fn = 10,38 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Solo k1 y k2 están en paralelo. Ese par está en serie con k3, así que combínalos como inversos.
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