La fuente de tensión Vₛ entre A y B tiene su borne + en B, así que impone VB − VA = Vₛ. Usa el análisis nodal con un supernodo para hallar la corriente IR1 por R1 en el sentido de la flecha.
V1 = 12 VIs = 4 AVs = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 2 ΩR3 = 8 Ω
IR1 = A
5.Thévenin y NortonMedia
Halla la resistencia de Thévenin Rth vista desde los terminales a–b.
V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 Ω
Rth = Ω
6.Thévenin y NortonDifícil
Halla la tensión de Thévenin Vth vista desde los terminales a–b.
V1 = 36 VIs = 1,5 AR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
7.Transitorios RC y RLMedia
La bobina conduce una corriente estacionaria de 1 A. En t = 0 el interruptor cierra el lazo a través de R y se retira la fuente, así que la corriente de la bobina decae a través de R. Halla la tensión vR en R en t = 5 ms.
i(0) = 1 AR = 68 ΩL = 150 mHt = 5 ms
vR = V
8.Transitorios RC y RLDifícil
El interruptor lleva mucho tiempo cerrado, así que el circuito está en régimen permanente. En t = 0 se abre el interruptor. Halla la tensión del condensador vC en t = 15 ms.
Vs = 15 VR1 = 6,8 kΩR2 = 2,2 kΩC = 22 µFt = 15 ms
vC = V
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Un circuito RLC en serie con C = 10 µF debe resonar a 2000 Hz. Halla la inductancia L necesaria.
f0 = 2000 HzC = 10 µF
L = mH
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 120 V (eficaces) y 1000 Hz. Halla la frecuencia de resonancia f0 del circuito.
V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 10 µF
f0 = Hz
11.Potencia en alterna y factor de potenciaMedia
Un motor monofásico consume 7 kW con un factor de potencia de 0,8 inductivo de una alimentación de 400 V. Halla la potencia reactiva Q que consume.
P = 7 kWpf = 0,8V = 400 V
Q = kvar
12.Potencia en alterna y factor de potenciaDifícil
Una carga monofásica consume 10 kW con un factor de potencia de 0,8 inductivo de una alimentación de 230 V y 60 Hz. Un condensador conectado en paralelo eleva el factor de potencia a 0,98. Halla la capacidad C necesaria.
P = 10 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,98V = 230 Vf = 60 Hz
C = µF
13.Potencia trifásicaMedia
Una carga equilibrada conectada en estrella, con una impedancia de 24 + j7 Ω por fase, se conecta a una alimentación trifásica equilibrada con una tensión de línea de 400 V. Halla la potencia activa total P que absorbe la carga en kW.
VL = 400 VZ = 24 + j7 Ω por fase
P = kW
14.Potencia trifásicaDifícil
Una carga trifásica equilibrada consume 75 kW con un factor de potencia de 0,65 inductivo de una alimentación de 415 V (de línea) y 50 Hz. Una batería trifásica de condensadores en paralelo con la carga debe elevar el factor de potencia total a 0,95 inductivo. La potencia activa no cambia. Los condensadores están conectados en triángulo. Halla la capacidad Cph de cada condensador en µF.
P = 75 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.TransformadoresMedia
Un amplificador con una resistencia de salida de 128 Ω alimenta un altavoz de 8 Ω a través de un transformador ideal. Para la máxima transferencia de potencia, el altavoz debe verse como 128 Ω desde el amplificador. Halla la relación de transformación a = N₁/N₂.
Rs = 128 ΩRL = 8 Ω
a =
16.TransformadoresDifícil
Un transformador monofásico de 75 kVA tiene unas pérdidas en el hierro de 225 W y unas pérdidas en el cobre de 900 W a carga nominal. ¿Con qué carga Sη,max, en kVA, es máximo su rendimiento?
S = 75 kVAPcore = 225 WPcu,fl = 900 W
Sη,max = kVA
3Disoluciones
1.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR1 = 0,3429 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 10 + 10 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 12·20/(12+20) = 7,5 Ω
Req = R1 + 7,5 = 10 + 7,5 = 17,5 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 6/17,5 = 0,3429 A
Respuesta
IR1 = 0,3429 A
2.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR1 = 0,2324 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 6 + 5 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 8,049 Ω
R3 + 8,049 = 23,05 Ω
R2 ∥ 23,05 = 13,03 Ω
Req = R1 + 13,03 = 30 + 13,03 = 43,03 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 10/43,03 = 0,2324 A
Respuesta
IR1 = 0,2324 A
3.Análisis nodal
Respuesta: IR3 = 1,438 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
Plantea los nodos
La tierra es el cable inferior. Las tensiones de nodo conocidas salen directamente de las fuentes (V1 = 24 V). Incógnitas: VA, VB.
LCK en el nodo A
Las corrientes que salen de A por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 24)/15 + (VA − VB)/15 = 0
0,2167·VA − 0,06667·VB = 1,6
LCK en el nodo B
Las corrientes que salen de B por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en B.
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
Forma un supernodo
La fuente de tensión entre A y B conduce una corriente desconocida, así que no se puede escribir la LCK en A ni en B por separado. Encierra A, B y la fuente en un supernodo: la corriente que entra es igual a la que sale.
VB = VA + 9
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is
Resuelve
(VA − 12)/6 + VA/2 + (VA + 9)/8 = 4
VA·(1/6 + 1/2 + 1/8) = 4 + 12/6 − 9/8 = 4,875
VA = 4,875/0,7917 = 6,158 V
VB = 15,16 V
Corriente por R₁
IR1 = (V1 − VA)/R1 = (12 − 6,158)/6 = 0,9737 A
Respuesta
IR1 = 0,9737 A
Un resultado negativo significa que la corriente real circula en contra de la flecha.
5.Thévenin y Norton
Respuesta: Rth = 7,429 Ω
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 2·5/(2+5) = 1,429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,429 + 6 = 7,429 Ω
6.Thévenin y Norton
Respuesta: Vth = 36,9 V
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,4 + 3 = 5,4 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, el único camino para Iₛ es por R₃ hacia el nodo A. Halla V_A por superposición de V₁ e Iₛ y luego suma la caída en R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 28,8 + 1,5·2,4 = 32,4 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 32,4 + 1,5·3 = 36,9 V
7.Transitorios RC y RL
Respuesta: vR = 7,049 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo
τ = L/R = 150 mH / 68 Ω = 2,206 ms
Decaimiento de la corriente
i(t) = 1·e−5/2,206 = 0,1037 A
vR = R·i = 68·0,1037 = 7,049 V
Respuesta
vR = 7,049 V
8.Transitorios RC y RL
Respuesta: vC = 2,69 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Tensión inicial del condensador
En régimen permanente el condensador es un circuito abierto, así que R₁ y R₂ forman un divisor de tensión. La tensión del condensador no puede saltar al abrirse el interruptor.
vC(0) = 15·2,2/(6,8 + 2,2) = 3,667 V
Constante de tiempo tras abrirse el interruptor
τ = R2·C = 2,2·22 = 48,4 ms
Descarga
vC(t) = 3,667·e−15/48,4 = 2,69 V
Respuesta
vC = 2,69 V
9.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: L = 0,6333 mH
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Condición de resonancia
En resonancia, las reactancias inductiva y capacitiva se anulan: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·10·10⁻⁶) = 0,6333 mH
Respuesta
L = 0,6333 mH
10.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: f0 = 225,1 Hz
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Resonancia
En resonancia, las reactancias inductiva y capacitiva se anulan: ωL = 1/(ωC). La frecuencia de la alimentación no influye.
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Ángulo
φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75
Potencia reactiva
Q = P·tan φ = 7·0,75 = 5,25 kvar
Respuesta
Q = 5,25 kvar
12.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: C = 274,3 µF
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa P no cambia; solo cambia la potencia reactiva que se toma de la red.
Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(36,87°) = 7,5 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(11,48°) = 2,031 kvar
QC = Q1 − Q2 = 5,469 kvar
Capacidad
Un condensador conectado a la red aporta Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 5469/(2π·60·230²) = 274,3 µF
Respuesta
C = 274,3 µF
13.Potencia trifásica
Respuesta: P = 6,144 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Tensión de fase
Vph = 400/√3 = 230,9 V
Corriente de fase
|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
Iph = 230,9/25 = 9,238 A
Potencia activa total
Solo la parte resistiva de cada impedancia absorbe potencia activa.
P = 3·Iph²·R = 3·9,238²·24 = 6,144 kW
Respuesta
P = 6,144 kW
Comprobación: cos φ = R/|Z| = 0,96, y √3·VL·IL·cos φ da la misma potencia.
14.Potencia trifásica
Respuesta: Cph = 388,3 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Corrección del factor de potencia: los condensadores aportan potencia reactiva en el propio punto, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada uno de los tres condensadores aporta QC/3 = V²·ω·C, donde V es la tensión en ese condensador: VL en una batería en triángulo, VL/√3 en una batería en estrella.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa no cambia, así que cada factor de potencia fija la potencia reactiva: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0,65) = 75·1,169 = 87,68 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,95) = 75·0,3287 = 24,65 kvar
Potencia reactiva de los condensadores
QC = Q1 − Q2 = 63,03 kvar
Capacidad por fase
En una batería en triángulo cada condensador está conectado entre dos líneas.
Transformador ideal: las tensiones están en la relación de las espiras y las corrientes en la relación inversa: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, así que la potencia de entrada es igual a la de salida, V₁·I₁ = V₂·I₂. Una impedancia de carga Z en el secundario se ve como a²·Z desde el primario.
Adapta la carga referida
a²·8 = 128
a = √(128/8) = √16 = 4
Respuesta
a = 4
16.Transformadores
Respuesta: Sη,max = 37,5 kVA
Pérdidas del transformador: las pérdidas en el hierro (histéresis y corrientes de Foucault) dependen de la tensión y son las mismas con cualquier carga. Las pérdidas en el cobre de los devanados van con el cuadrado de la corriente, así que a una fracción x de la carga nominal valen x²·Pcu,fl. Rendimiento η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), con Pout = x·S·pf. El rendimiento es máximo con la carga a la que las pérdidas en el cobre igualan a las pérdidas en el hierro.
Pérdidas en el cobre iguales a las pérdidas en el hierro