Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Halla el límite L = limx→∞ (1 + 0,5/x)x. Da un valor decimal.
Halla el límite L = limx→0 (1 − cos 5x)/(2x²), con x en radianes.
Sea f(x) = x·sin(x), con x en radianes. Calcula f′(2).
La recta tangente a f(x) = 3x2 − 4x − 3 en x = −2 corta el eje y en y = b. Calcula b.
Calcula I = ∫01 2x·(x² + 1)1 dx.
Calcula el área A de la región entre la parábola y = 1 − x² y el eje x.
Escribe z = 7 − j9 en forma exponencial r·ejθ. Da θ en radianes, entre −π y π.
Halla la parte real de (3 + j2)³.
Una pieza de acero forjado a 320 °C se deja enfriar en un taller a 24 °C. Al cabo de 17 min su temperatura es 235 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Halla la constante k en min⁻¹.
Resuelve y′ + 3y = 4e−t con y(0) = 1. Halla y(1,5).
Calcula el determinante det A de la matriz 3×3 A mostrada.
Calcula el valor propio mayor λ de la matriz A mostrada.
Una fuerza constante F = (−5, 30, −10) N actúa sobre un objeto mientras este se mueve en línea recta del punto A(−1, −4, −5) al punto B(−5, 4, 5). Las coordenadas están en metros. Halla el trabajo W realizado por la fuerza.
El vector unitario n̂ es perpendicular a a = (3, −3, −4) y a b = (4, 5, −3) y tiene componente z positiva. Halla su componente x n̂x.
Una bolsa tiene 5 bolas rojas y 5 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?
X tiene la distribución mostrada, y Y = 2X + 20. Halla la desviación típica σY de Y.
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 24, 20, 19, 49, 31, 48.
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 100 y desviación típica 15. Calcula la puntuación z z de una nota de 88.
Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,7054. Halla z con dos decimales.
Para las duraciones de las baterías, la distribución es normal, con media 500 h y desviación típica 40 h. Arrastra el punto de corte para que el 75 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.
Respuesta: L = 1,649
Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).
ln(1 + u)/u → 1 cuando u → 0, así que x·ln(1 + a/x) → a.
Respuesta: L = 6,25
Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).
Respuesta: f′(2) = 0,077
Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.
Respuesta: b = −15
Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.
Respuesta: I = 1,5
Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.
Respuesta: A = 1,333
Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.
Respuesta: θ = −0,9098 rad
Forma polar: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, con r = |z| y θ = arg z. Para volver a la forma rectangular: a = r cos θ, b = r sin θ. El argumento necesita el cuadrante: θ = atan(b/a) solo cuando a > 0; para a < 0 suma o resta 180°. En forma polar multiplicar es fácil: se multiplican los módulos y se suman los argumentos; para dividir se dividen los módulos y se restan los argumentos.
Respuesta: Re(z³) = −9
De Moivre y raíces: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. La ecuación zⁿ = R∠φ tiene exactamente n raíces, todas con módulo R1/n, en los argumentos (φ + 360°·k)/n para k = 0, 1, …, n − 1: están repartidas uniformemente en una circunferencia, separadas 360°/n. Una ecuación cuadrática z² + pz + q = 0 con p² < 4q tiene las raíces complejas z = −p/2 ± j√(q − p²/4); un polinomio con coeficientes reales siempre tiene sus raíces complejas en pares conjugados a ± jb.
Respuesta: k = 0,01991 min⁻¹
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.
Respuesta: y(1.5) = 0,4352
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.
Respuesta: det A = −116
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Respuesta: λ = 5
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Respuesta: W = 160 J
Producto escalar: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, un escalar. Da el ángulo entre dos vectores, cos θ = a·b/(|a|·|b|), y es cero cuando son perpendiculares. La proyección escalar de a sobre b es a·b/|b|, y una fuerza constante F que se mueve a lo largo de un desplazamiento d realiza un trabajo W = F·d.
Respuesta: n̂x = 0,7207
Producto vectorial: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) es perpendicular a ambos vectores, y |a × b| = |a|·|b|·sin θ es el área del paralelogramo que generan (el triángulo tiene la mitad). El orden importa: b × a = −(a × b). El momento de una fuerza F aplicada en el punto A respecto al punto O es MO = r × F, con r = A − O.
La componente z de a × b ya es positiva.
Respuesta: P = 0,2222
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Respuesta: σY = 3,242
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
La media sí se desplaza: E(Y) = 2·3,15 + 20 = 26,3.
Respuesta: s = 13,59
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: z = −0,8
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: z = −0,54
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Busca 0,2946 dentro de la tabla y lee z.
Respuesta: x = 473 h
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
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