Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Halla el límite L = limx→∞ (√(4x2 − 7x) − 2x).
Halla el límite L = limx→0 (e3x − 1 − 3x)/x².
Sea f(x) = (−2x + 5)3. Calcula f′(−1).
La recta tangente a f(x) = 3x2 − 4 en x = −2 corta el eje y en y = b. Calcula b.
Calcula I = ∫01 2x·(x² + 1)1 dx.
Calcula el área A de la región entre la parábola y = 4 − x² y el eje x.
Escribe z = −9 + j en forma exponencial r·ejθ. Da θ en radianes, entre −π y π.
Una raíz de z³ − 8z − 32 = 0 es z₁ = −2 + j2. Los coeficientes son reales. Halla la raíz real r.
Resuelve y″ + 7y′ + 12y = 0 con y(0) = 1 e y′(0) = 2. Halla y(1).
Un sistema obedece y″ + 4y′ + 29y = 290 para t ≥ 0, partiendo del reposo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Halla el valor máximo ymax de su respuesta al escalón.
Sea C = AB para las matrices mostradas. Calcula el elemento c11 (fila 1, columna 1).
Resuelve el sistema −6x − 5y = −4 y −4x − y = −12. Calcula x.
Halla la proyección escalar compb a de a = (5, 3, 3) sobre b = (−1, −2, 5), es decir, la componente de a en la dirección de b.
Para a = (−5, −4, 0) y b = (−4, −5, −6), halla la componente y (a × b)y del producto vectorial a × b.
Una bolsa tiene 4 bolas rojas y 4 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?
Un examen tiene 12 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,7, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 3?
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 60, 21, 57, 39, 58.
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 70 y desviación típica 12. Calcula la puntuación z z de una nota de 46.
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,9668. Halla z con dos decimales.
Para las notas de un examen, la distribución es normal, con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. Arrastra el punto de corte para que el 60 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.
Respuesta: L = −1,75
Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).
Respuesta: L = 4,5
Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).
Respuesta: f′(−1) = −294
Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.
Respuesta: b = −16
Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.
Respuesta: I = 1,5
Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.
Respuesta: A = 10,67
Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.
Respuesta: θ = 3,031 rad
Forma polar: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, con r = |z| y θ = arg z. Para volver a la forma rectangular: a = r cos θ, b = r sin θ. El argumento necesita el cuadrante: θ = atan(b/a) solo cuando a > 0; para a < 0 suma o resta 180°. En forma polar multiplicar es fácil: se multiplican los módulos y se suman los argumentos; para dividir se dividen los módulos y se restan los argumentos.
Respuesta: r = 4
De Moivre y raíces: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. La ecuación zⁿ = R∠φ tiene exactamente n raíces, todas con módulo R1/n, en los argumentos (φ + 360°·k)/n para k = 0, 1, …, n − 1: están repartidas uniformemente en una circunferencia, separadas 360°/n. Una ecuación cuadrática z² + pz + q = 0 con p² < 4q tiene las raíces complejas z = −p/2 ± j√(q − p²/4); un polinomio con coeficientes reales siempre tiene sus raíces complejas en pares conjugados a ± jb.
Comprueba con la suma de las raíces: z₁ + z₂ + r = −4 + 4 = 0 = −(0).
Respuesta: y(1) = 0,2071
Ecuaciones lineales de segundo orden: para y″ + b·y′ + c·y = 0 prueba y = ert: esto da la ecuación característica r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ dan y = A·er₁t + B·er₂t (sobreamortiguado); una raíz doble r da y = (A + Bt)·ert (amortiguamiento crítico); las raíces complejas −α ± jω dan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (subamortiguado, oscilante). Los valores iniciales y(0) e y′(0) fijan A y B. Escrita como y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn es la frecuencia natural y ζ el factor de amortiguamiento: con ζ < 1 hay oscilación. Con una entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solución es el valor estacionario K más la respuesta libre.
Respuesta: ymax = 12,85
Ecuaciones lineales de segundo orden: para y″ + b·y′ + c·y = 0 prueba y = ert: esto da la ecuación característica r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ dan y = A·er₁t + B·er₂t (sobreamortiguado); una raíz doble r da y = (A + Bt)·ert (amortiguamiento crítico); las raíces complejas −α ± jω dan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (subamortiguado, oscilante). Los valores iniciales y(0) e y′(0) fijan A y B. Escrita como y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn es la frecuencia natural y ζ el factor de amortiguamiento: con ζ < 1 hay oscilación. Con una entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solución es el valor estacionario K más la respuesta libre.
Respuesta: c11 = −33
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Respuesta: x = 4
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Respuesta: compb a = 0,7303
Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Respuesta: (a × b)y = −30
Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Comprueba: a × b es perpendicular a ambos vectores, así que su producto escalar con a y con b es cero.
Respuesta: P = 0,2143
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Respuesta: P = 0,001485
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Respuesta: s = 16,81
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: z = −2
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: z = 2,13
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Busca 0,9834 dentro de la tabla y lee z.
Respuesta: x = 67,5 puntos
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
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