Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Mecánica de fluidos: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de glicerina, con su borde superior a 0,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 0,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidad y BernoulliMedia
Por una tubería horizontal que se estrecha de 150 mm a 75 mm circulan 40 L/s de agua. La presión en la sección estrecha es 150 kPa. Despreciando las pérdidas, halla la presión p1 en la sección ancha.
Q = 40 L/sd1 = 150 mmd2 = 75 mmp2 = 150 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Continuidad y BernoulliDifícil
El agua sube por una tubería que se estrecha de 100 mm a 75 mm mientras asciende 9 m. En la sección 1 la presión es 340 kPa y la velocidad 2,75 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en la sección 2.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 340 kPav1 = 2,75 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua circula a razón de 60 L/s por una tubería de 100 m de longitud y 300 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,025 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción hf.
Q = 60 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 200 m de longitud, 200 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,018. La superficie libre del depósito superior está 9 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.
Δz = 9 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
En un ensayo, una bomba impulsa 30 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 10 m mientras su eje absorbe 4,9 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.
Q = 30 L/sH = 10 mPshaft = 4,9 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 36 m más alta. La tubería mide 200 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,018; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El depósito superior está cerrado y el aire sobre el agua está a una presión manométrica de 300 kPa. Halla la altura H que debe añadir la bomba.
Q = 50 L/sΔz = 36 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 8ptank = 300 kPa
H = m
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 386,3 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,25·7,5 = 386,3 kN
Respuesta
F = 386,3 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 37,08 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1·3 = 37,08 kN
Respuesta
F = 37,08 kN
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: p1 = 188,4 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidades
v1 = Q/A1 = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
v2 = Q/A2 = 0,04/0,004418 = 9,054 m/s
Bernoulli
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 150 + ½·1000·(9,054² − 2,264²)/1000 = 150 + 38,43 = 188,4 kPa
Respuesta
p1 = 188,4 kPa
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: p2 = 243,5 kPa
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Continuidad y Bernoulli
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/75)² = 4,889 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,75² − 4,889²)/1000 = −8,169 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 340 + (−8,169) − 88,29 = 243,5 kPa
Respuesta
p2 = 243,5 kPa
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: hf = 0,306 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Velocidad media
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,06/0,07069 = 0,8488 m/s
Altura de velocidad
V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(100/0,3)·0,8488²/(2·9,81) = 0,306 m
Respuesta
hf = 0,306 m
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Q = 87,62 L/s
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,018·200/0,2 = 18
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7
Ecuación de la energía
Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.
9 = (18 + 4,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·9/22,7) = 2,789 m/s
Caudal
Q = V·π·D²/4 = 2,789·0,03142 = 0,08762 m³/s = 87,62 L/s
Respuesta
Q = 87,62 L/s
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: η = 60,06 %
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·10 = 2,943 kW
Rendimiento
η = Ph/Pshaft = 2,943/4,9 = 60,06%
Respuesta
η = 60,06%
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: H = 79,64 m
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 8)·0,408 = 13,06 m
Altura de presión
p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m
Altura de la bomba
Las dos superficies están prácticamente en reposo, así que no hay término de altura de velocidad.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 36 + 30,58 + 13,06 = 79,64 m
Respuesta
H = 79,64 m
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