Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 3 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 3 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua de mar, con su borde superior a 0,5 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 0,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

Por una tubería horizontal que se estrecha de 200 mm a 100 mm circulan 25 L/s de agua. La presión en la sección estrecha es 170 kPa. Despreciando las pérdidas, halla la presión p₁ en la sección ancha.

Q = 25 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 170 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

Una manguera de 40 mm de diámetro interior saca agua por sifón de un depósito abierto. El punto más alto C de la manguera está 2 m por encima de la superficie del agua, y la salida (abierta al aire) está 2,5 m por debajo de la superficie del agua. Desprecia las pérdidas y toma g = 9,81 m/s². Halla la presión absoluta p_C en el punto C. La presión atmosférica es 101,3 kPa.

d = 40 mmz_C = +2 mz₂ = −2,5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula a razón de 60 L/s por una tubería de 50 m de longitud y 200 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,03 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

Q = 60 L/sL = 50 mD = 200 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 100 m de longitud, 150 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,02. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 2 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 34 m. El rendimiento de la bomba es del 65 % y el motor eléctrico que la acciona tiene un rendimiento del 94 %. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia eléctrica P_el que absorbe el motor, en kW.

Q = 50 L/sH = 34 mη_pump = 65%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 14 m más alta. La tubería mide 150 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,022; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 4 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 72 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 50 L/sΔz = 14 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 4η = 72%

P_shaft = kW

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 51,5 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·1,5 = 51,5 kN

Respuesta

F = 51,5 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 1,722 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,5·4 = 60,33 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,5 + 1,333/(1,5·4) = 1,722 m

Respuesta

y_cp = 1,722 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₁ = 174,7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,025/0,03142 = 0,7958 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 170 + ½·1000·(3,183² − 0,7958²)/1000 = 170 + 4,749 = 174,7 kPa

Respuesta

p₁ = 174,7 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p_C = 57,15 kPa

Velocidad en la manguera

La superficie y la salida están abiertas al aire, así que los términos de presión se anulan.

v = √(2g·2,5) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s

Bernoulli de la superficie a C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(7,004²/2 + 9,81·2)/1000 = 101,3 − 44,15 = 57,15 kPa

Respuesta

p_C = 57,15 kPa

Si esta presión baja hasta la presión de vapor del agua, el sifón deja de funcionar.

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 1,394 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Velocidad media

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

Altura de velocidad

V²/(2g) = 1,91²/(2·9,81) = 0,1859 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,2)·1,91²/(2·9,81) = 1,394 m

Respuesta

h_f = 1,394 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δz = 10,24 m

Velocidad

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s

V²/(2g) = 0,5876 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,02·100/0,15 = 13,33

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Pérdida de carga total

h_f = 13,33·0,5876 = 7,834 m

h_m = 4,1·0,5876 = 2,409 m

Δz = h_f + h_m = 10,24 m

Respuesta

Δz = 10,24 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_el = 27,29 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·34 = 16,68 kW

Potencia en el eje

P_shaft = 16,68/0,65 = 25,66 kW

Potencia eléctrica

P_el = 25,66/0,94 = 27,29 kW

Respuesta

P_el = 27,29 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 16,76 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 4)·0,408 = 10,61 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 14 + 10,61 = 24,61 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·24,61/0,72 = 16,76 kW

Respuesta

P_shaft = 16,76 kW

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