Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Mecánica de fluidos: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de aceite, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidad y BernoulliMedia
Por un venturímetro horizontal con un diámetro de entrada de 250 mm y un diámetro de garganta de 125 mm circula agua. La presión en la entrada es 15 kPa mayor que en la garganta. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q.
d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 15 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuidad y BernoulliDifícil
Por un venturímetro horizontal (entrada de 200 mm, garganta de 150 mm) circula agua. Un manómetro diferencial de mercurio en U conectado entre la entrada y la garganta indica una diferencia de nivel de 130 mm. El coeficiente de descarga es 0,95. Halla el caudal Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ para el agua, 13 600 kg/m³ para el mercurio y g = 9,81 m/s².
d1 = 200 mmd2 = 150 mmΔh = 130 mmCd = 0,95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 1,3 m/s por una tubería horizontal de 50 m de longitud y 50 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,03 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.
V = 1,3 m/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 300 m de longitud, 300 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,025. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 10) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 75 L/s?
Q = 75 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
Una bomba impulsa 25 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 76 m. El rendimiento de la bomba es del 75 % y el motor eléctrico que la acciona tiene un rendimiento del 88 %. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia eléctrica Pel que absorbe el motor, en kW.
Q = 25 L/sH = 76 mηpump = 75%ηmotor = 88%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 13 m más alta. La tubería mide 300 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,015; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 4 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El depósito superior está cerrado y el aire sobre el agua está a una presión manométrica de 200 kPa. Halla la altura H que debe añadir la bomba.
Q = 50 L/sΔz = 13 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 4ptank = 200 kPa
H = m
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 386,3 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,25·7,5 = 386,3 kN
Respuesta
F = 386,3 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 284,9 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·5,5·6 = 284,9 kN
Respuesta
F = 284,9 kN
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: Q = 69,42 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuidad
v1 = v2·(125/250)² = 0,25·v2
Bernoulli entre la entrada y la garganta
La tubería es horizontal, así que solo cambian la presión y la velocidad.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·15000/(1000·(1 − 0,0625))) = 5,657 m/s
v1 = 1,414 m/s
Caudal
Q = A2·v2 = 0,01227·5,657 = 0,06942 m³/s = 69,42 L/s
Respuesta
Q = 69,42 L/s
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: Q = 115,1 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Diferencia de presión a partir del manómetro
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,13 = 16069 Pa
Velocidad en la garganta
La continuidad y Bernoulli juntas dan la velocidad ideal en la garganta.
β = 150/200 = 0,75
v2 = √(2·16069/(1000·(1 − 0,3164))) = 6,857 m/s
Caudal real
Q = Cd·A2·v2 = 0,95·0,01767·6,857 = 0,1151 m³/s = 115,1 L/s
Respuesta
Q = 115,1 L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Δp = 25,35 kPa
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Pérdida de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,05)·1,3²/(2·9,81) = 2,584 m
Caída de presión
La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·2,584 = 25350 Pa = 25,35 kPa
Respuesta
Δp = 25,35 kPa
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Δz = 2,163 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Velocidad
V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s
V²/(2g) = 0,05738 m
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,025·300/0,3 = 25
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Pérdida de carga total
hf = 25·0,05738 = 1,434 m
hm = 12,7·0,05738 = 0,7287 m
Δz = hf + hm = 2,163 m
Respuesta
Δz = 2,163 m
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pel = 28,24 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·76 = 18,64 kW
Potencia en el eje
Pshaft = 18,64/0,75 = 24,85 kW
Potencia eléctrica
Pel = 24,85/0,88 = 28,24 kW
Respuesta
Pel = 28,24 kW
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: H = 47,26 m
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 4)·0,408 = 13,87 m
Altura de presión
p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m
Altura de la bomba
Las dos superficies están prácticamente en reposo, así que no hay término de altura de velocidad.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 13 + 20,39 + 13,87 = 47,26 m
Respuesta
H = 47,26 m
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