Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 3 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de aceite, con su borde superior a 0,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidad y BernoulliMedia

Por un venturímetro horizontal con un diámetro de entrada de 100 mm y un diámetro de garganta de 60 mm circula agua. La presión en la entrada es 50 kPa mayor que en la garganta. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q.

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmp₁ − p₂ = 50 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 100 mm a 75 mm mientras asciende 10 m. En la sección 1 la presión es 250 kPa y la velocidad 1 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 250 kPav₁ = 1 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula a razón de 15 L/s por una tubería de 400 m de longitud y 100 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,022 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

Q = 15 L/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 400 m de longitud, 250 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,015. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 3 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 5) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba con un rendimiento del 85 % impulsa 80 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 32 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje P_shaft necesaria, en kW.

Q = 80 L/sH = 32 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 13 m más alta. La tubería mide 600 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,015; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 5 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 70 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 50 L/sΔz = 13 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 5η = 70%

P_shaft = kW

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 235,4 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·6 = 235,4 kN

Respuesta

F = 235,4 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 12,95 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1·1,5 = 12,95 kN

Respuesta

F = 12,95 kN

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: Q = 30,31 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidad

v₁ = v₂·(60/100)² = 0,36·v₂

Bernoulli entre la entrada y la garganta

La tubería es horizontal, así que solo cambian la presión y la velocidad.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·50000/(1000·(1 − 0,1296))) = 10,72 m/s

v₁ = 3,859 m/s

Caudal

Q = A₂·v₂ = 0,002827·10,72 = 0,03031 m³/s = 30,31 L/s

Respuesta

Q = 30,31 L/s

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 150,8 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(100/75)² = 1,778 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 1,778²)/1000 = −1,08 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 250 + (−1,08) − 98,1 = 150,8 kPa

Respuesta

p₂ = 150,8 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 16,36 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Velocidad media

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

Altura de velocidad

V²/(2g) = 1,91²/(2·9,81) = 0,1859 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(400/0,1)·1,91²/(2·9,81) = 16,36 m

Respuesta

h_f = 16,36 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δz = 9,564 m

Velocidad

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,015·400/0,25 = 24

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Pérdida de carga total

h_f = 24·0,3046 = 7,31 m

h_m = 7,4·0,3046 = 2,254 m

Δz = h_f + h_m = 9,564 m

Respuesta

Δz = 9,564 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 29,55 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·32 = 25,11 kW

Potencia en el eje

P_shaft = P_h/η = 25,11/0,85 = 29,55 kW

Respuesta

P_shaft = 29,55 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 27,69 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 5)·0,408 = 26,52 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 13 + 26,52 = 39,52 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·39,52/0,7 = 27,69 kW

Respuesta

P_shaft = 27,69 kW

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