Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de aceite, con su borde superior a 1,5 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 100 mm a 50 mm. En el tramo ancho la presión es 150 kPa y la velocidad 2 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en el tramo estrecho.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 150 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

Un depósito de agua cerrado tiene aire comprimido sobre el agua a una presión manométrica de 120 kPa. El agua sale al aire libre por un orificio de 40 mm de diámetro, 4,5 m por debajo de la superficie del agua. Despreciando las pérdidas, halla la velocidad del chorro v. Usa g = 9,81 m/s².

p_air = 120 kPa (manométrica)h = 4,5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 1,2 m/s por una tubería horizontal de 50 m de longitud y 300 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,03 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.

V = 1,2 m/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Una tubería de 150 m de longitud y 150 mm de diámetro interior (factor de fricción de Darcy f = 0,025) sale de un depósito abierto y descarga como chorro libre a la atmósfera. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 2 codos (K = 0,3 cada uno) y una válvula (K = 5). Usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura H debe estar la superficie del depósito sobre la salida de la tubería para un caudal de 30 L/s?

Q = 30 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5

H = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

En un ensayo, una bomba impulsa 40 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 28 m mientras su eje absorbe 15,7 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.

Q = 40 L/sH = 28 mP_shaft = 15,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 40 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 11 m más alta. La tubería mide 300 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,018; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 5 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 82 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 40 L/sΔz = 11 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 5η = 82%

P_shaft = kW

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 132,4 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN

Respuesta

F = 132,4 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 2,633 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·2 = 43,16 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,6667/(2,5·2) = 2,633 m

Respuesta

y_cp = 2,633 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 120 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(100/50)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 150 + (−30) = 120 kPa

Respuesta

p₂ = 120 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: v = 18,12 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli de la superficie al chorro

v = √(2·(120000/1000 + 9,81·4,5)) = 18,12 m/s

Respuesta

v = 18,12 m/s

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δp = 3,6 kPa

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Pérdida de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,3)·1,2²/(2·9,81) = 0,367 m

Caída de presión

La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,367 = 3600 Pa = 3,6 kPa

Respuesta

Δp = 3,6 kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: H = 4,715 m

Velocidad

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,025·150/0,15 = 25

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1

Ecuación de la energía

El chorro de salida conserva su altura de velocidad; no es una pérdida, pero hay que aportarla.

H = (1 + 25 + 6,1)·0,1469 = 4,715 m

Respuesta

H = 4,715 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: η = 69,98 %

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·28 = 10,99 kW

Rendimiento

η = P_h/P_shaft = 10,99/15,7 = 69,98%

Respuesta

η = 69,98%

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 10,39 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 5)·0,2611 = 10,71 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 11 + 10,71 = 21,71 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·21,71/0,82 = 10,39 kW

Respuesta

P_shaft = 10,39 kW

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