Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Mecánica de fluidos: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de glicerina, con su borde superior a 3 m bajo la superficie. Halla la profundidad ycp del centro de presiones bajo la superficie.
d = 3 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidad y BernoulliMedia
Por un venturímetro horizontal con un diámetro de entrada de 150 mm y un diámetro de garganta de 75 mm circula agua. La presión en la entrada es 55 kPa mayor que en la garganta. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 − p2 = 55 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuidad y BernoulliDifícil
Por un venturímetro horizontal (entrada de 250 mm, garganta de 125 mm) circula agua. Un manómetro diferencial de mercurio en U conectado entre la entrada y la garganta indica una diferencia de nivel de 330 mm. El coeficiente de descarga es 0,95. Halla el caudal Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ para el agua, 13 600 kg/m³ para el mercurio y g = 9,81 m/s².
d1 = 250 mmd2 = 125 mmΔh = 330 mmCd = 0,95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua circula con una velocidad media de 1,1 m/s por una tubería de 200 m de longitud y 75 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,02 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción hf.
V = 1,1 m/sL = 200 mD = 75 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 150 m de longitud, 200 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,025. La superficie libre del depósito superior está 16 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 3 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 5) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.
Δz = 16 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
En un ensayo, una bomba impulsa 30 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 38 m mientras su eje absorbe 13,6 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.
Q = 30 L/sH = 38 mPshaft = 13,6 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 19 m más alta. La tubería mide 150 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,025; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 4 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El depósito superior está cerrado y el aire sobre el agua está a una presión manométrica de 300 kPa. Halla la altura H que debe añadir la bomba.
Q = 50 L/sΔz = 19 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 4ptank = 300 kPa
H = m
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 95,65 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·3 = 95,65 kN
Respuesta
F = 95,65 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: ycp = 3,8 m
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,75·1,5 = 69,53 kN
Centro de presiones
La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.
Ic = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,75 + 0,2813/(3,75·1,5) = 3,8 m
Respuesta
ycp = 3,8 m
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: Q = 47,85 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuidad
v1 = v2·(75/150)² = 0,25·v2
Bernoulli entre la entrada y la garganta
La tubería es horizontal, así que solo cambian la presión y la velocidad.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·55000/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,83 m/s
v1 = 2,708 m/s
Caudal
Q = A2·v2 = 0,004418·10,83 = 0,04785 m³/s = 47,85 L/s
Respuesta
Q = 47,85 L/s
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: Q = 108,8 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Diferencia de presión a partir del manómetro
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,33 = 40790 Pa
Velocidad en la garganta
La continuidad y Bernoulli juntas dan la velocidad ideal en la garganta.
β = 125/250 = 0,5
v2 = √(2·40790/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,328 m/s
Caudal real
Q = Cd·A2·v2 = 0,95·0,01227·9,328 = 0,1088 m³/s = 108,8 L/s
Respuesta
Q = 108,8 L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: hf = 3,289 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Altura de velocidad
V²/(2g) = 1,1²/(2·9,81) = 0,06167 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(200/0,075)·1,1²/(2·9,81) = 3,289 m
Respuesta
hf = 3,289 m
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Q = 108,8 L/s
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,025·150/0,2 = 18,75
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4
Ecuación de la energía
Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.
16 = (18,75 + 7,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·16/26,15) = 3,465 m/s
Caudal
Q = V·π·D²/4 = 3,465·0,03142 = 0,1088 m³/s = 108,8 L/s
Respuesta
Q = 108,8 L/s
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: η = 82,23 %
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·38 = 11,18 kW
Rendimiento
η = Ph/Pshaft = 11,18/13,6 = 82,23%
Respuesta
η = 82,23%
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: H = 61,41 m
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 4)·0,408 = 11,83 m
Altura de presión
p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m
Altura de la bomba
Las dos superficies están prácticamente en reposo, así que no hay término de altura de velocidad.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 19 + 30,58 + 11,83 = 61,41 m
Respuesta
H = 61,41 m
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