Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Mecánica de fluidos: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de aceite, con su borde superior a 2,5 m bajo la superficie. Halla la profundidad ycp del centro de presiones bajo la superficie.
d = 2,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidad y BernoulliMedia
El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 75 mm a 50 mm. En el tramo ancho la presión es 360 kPa y la velocidad 2,5 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en el tramo estrecho.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 360 kPav1 = 2,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidad y BernoulliDifícil
Una manguera de 50 mm de diámetro interior saca agua por sifón de un depósito abierto. El punto más alto C de la manguera está 1 m por encima de la superficie del agua, y la salida (abierta al aire) está 3,5 m por debajo de la superficie del agua. Desprecia las pérdidas y toma g = 9,81 m/s². Halla la presión absoluta pC en el punto C. La presión atmosférica es 101,3 kPa.
d = 50 mmzC = +1 mz2 = −3,5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua circula a razón de 200 L/s por una tubería de 300 m de longitud y 300 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,028 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción hf.
Q = 200 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 150 m de longitud, 300 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,015. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 10) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 80 L/s?
Q = 80 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
En un ensayo, una bomba impulsa 10 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 76 m mientras su eje absorbe 8,8 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.
Q = 10 L/sH = 76 mPshaft = 8,8 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 75 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 23 m más alta. La tubería mide 500 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,025; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 65 %. Halla la potencia en el eje Pshaft en kW.
Q = 75 L/sΔz = 23 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8η = 65%
Pshaft = kW
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 143,5 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·4,5 = 143,5 kN
Respuesta
F = 143,5 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: ycp = 3,028 m
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3·1 = 25,9 kN
Centro de presiones
La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.
Ic = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 0,08333/(3·1) = 3,028 m
Respuesta
ycp = 3,028 m
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: p2 = 347,3 kPa
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Continuidad y Bernoulli
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,5·(75/50)² = 5,625 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,5² − 5,625²)/1000 = −12,7 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 360 + (−12,7) = 347,3 kPa
Respuesta
p2 = 347,3 kPa
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: pC = 57,15 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidad en la manguera
La superficie y la salida están abiertas al aire, así que los términos de presión se anulan.
v = √(2g·3,5) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s
Bernoulli de la superficie a C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(8,287²/2 + 9,81·1)/1000 = 101,3 − 44,15 = 57,15 kPa
Respuesta
pC = 57,15 kPa
Si esta presión baja hasta la presión de vapor del agua, el sifón deja de funcionar.
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: hf = 11,42 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Velocidad media
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s
Altura de velocidad
V²/(2g) = 2,829²/(2·9,81) = 0,408 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,3)·2,829²/(2·9,81) = 11,42 m
Respuesta
hf = 11,42 m
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Δz = 1,319 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Velocidad
V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s
V²/(2g) = 0,06529 m
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,015·150/0,3 = 7,5
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Pérdida de carga total
hf = 7,5·0,06529 = 0,4896 m
hm = 12,7·0,06529 = 0,8291 m
Δz = hf + hm = 1,319 m
Respuesta
Δz = 1,319 m
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: η = 84,72 %
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·76 = 7,456 kW
Rendimiento
η = Ph/Pshaft = 7,456/8,8 = 84,72%
Respuesta
η = 84,72%
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pshaft = 49,22 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (62,5 + 8)·0,2905 = 20,48 m
Altura de la bomba
H = Δz + hL = 23 + 20,48 = 43,48 m
Potencia en el eje
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·43,48/0,65 = 49,22 kW
Respuesta
Pshaft = 49,22 kW
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