Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Mecánica de fluidos: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de aceite, con su borde superior a 3 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidad y BernoulliMedia
El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 200 mm a 100 mm. En el tramo ancho la presión es 390 kPa y la velocidad 2 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en el tramo estrecho.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 390 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidad y BernoulliDifícil
El agua sube por una tubería que se estrecha de 100 mm a 75 mm mientras asciende 1 m. En la sección 1 la presión es 160 kPa y la velocidad 1,5 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en la sección 2.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 160 kPav1 = 1,5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 2,4 m/s por una tubería horizontal de 50 m de longitud y 150 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,015 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.
V = 2,4 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Una tubería de 200 m de longitud y 300 mm de diámetro interior (factor de fricción de Darcy f = 0,025) sale de un depósito abierto y descarga como chorro libre a la atmósfera. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno) y una válvula (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura H debe estar la superficie del depósito sobre la salida de la tubería para un caudal de 100 L/s?
Q = 100 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2
H = m
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
En un ensayo, una bomba impulsa 30 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 40 m mientras su eje absorbe 14,4 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.
Q = 30 L/sH = 40 mPshaft = 14,4 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 75 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 8 m más alta. La tubería mide 150 m de longitud, tiene 250 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,022; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 75 %. Halla la potencia en el eje Pshaft en kW.
Q = 75 L/sΔz = 8 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8η = 75%
Pshaft = kW
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 73,58 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN
Respuesta
F = 73,58 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 116,5 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·4,5·3 = 116,5 kN
Respuesta
F = 116,5 kN
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: p2 = 360 kPa
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Continuidad y Bernoulli
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(200/100)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 390 + (−30) = 360 kPa
Respuesta
p2 = 360 kPa
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: p2 = 147,8 kPa
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Continuidad y Bernoulli
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(100/75)² = 2,667 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 2,667²)/1000 = −2,431 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 160 + (−2,431) − 9,81 = 147,8 kPa
Respuesta
p2 = 147,8 kPa
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Δp = 14,4 kPa
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Pérdida de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,15)·2,4²/(2·9,81) = 1,468 m
Caída de presión
La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·1,468 = 14400 Pa = 14,4 kPa
Respuesta
Δp = 14,4 kPa
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: H = 2,18 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Velocidad
V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s
V²/(2g) = 0,102 m
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,025·200/0,3 = 16,67
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7
Ecuación de la energía
El chorro de salida conserva su altura de velocidad; no es una pérdida, pero hay que aportarla.
H = (1 + 16,67 + 3,7)·0,102 = 2,18 m
Respuesta
H = 2,18 m
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: η = 81,75 %
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·40 = 11,77 kW
Rendimiento
η = Ph/Pshaft = 11,77/14,4 = 81,75%
Respuesta
η = 81,75%
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pshaft = 10,32 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,2 + 8)·0,119 = 2,522 m
Altura de la bomba
H = Δz + hL = 8 + 2,522 = 10,52 m
Potencia en el eje
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·10,52/0,75 = 10,32 kW
Respuesta
Pshaft = 10,32 kW
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