Ingeniería hidráulica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Flujo en canales abiertos (Manning)

Ecuación de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Caudal: Q = A·V
Radio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapecio (talud z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubería circular, llena o a media sección: R = D/4
Pendiente necesaria: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

Un tubo de Pitot estático en una tubería de agua indica una diferencia de 4 kPa entre la presión de estancamiento y la presión estática. Halla la velocidad del agua v en la punta.

p₀ − p = 4 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 150 mm a 100 mm mientras asciende 5 m. En la sección 1 la presión es 320 kPa y la velocidad 1,75 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 320 kPav₁ = 1,75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 2,1 m/s por una tubería horizontal de 150 m de longitud y 100 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,022 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.

V = 2,1 m/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 200 m de longitud, 250 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,022. La superficie libre del depósito superior está 18 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 5) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.

Δz = 18 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 26 m. El rendimiento de la bomba es del 80 % y el motor eléctrico que la acciona tiene un rendimiento del 88 %. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia eléctrica P_el que absorbe el motor, en kW.

Q = 50 L/sH = 26 mη_pump = 80%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 5 m más alta. La tubería mide 150 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,02; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El depósito superior está cerrado y el aire sobre el agua está a una presión manométrica de 200 kPa. Halla la altura H que debe añadir la bomba.

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8p_tank = 200 kPa

H = m

9.Flujo en canales abiertos (Manning)Media

Un canal trapecial de hormigón fratasado tiene una anchura de fondo de 2 m y taludes de 2:1 (horizontal:vertical). El agua circula en régimen uniforme con un calado de 0,6 m. n de Manning = 0,012 y la pendiente del fondo es S = 0,003. Halla el caudal Q en m³/s.

b = 2 my = 0,6 mz = 2n = 0,012S = 0,003

Q = m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)Difícil

Un canal trapecial de fábrica de ladrillo con una anchura de fondo de 5,5 m y taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical) debe transportar 34 m³/s en régimen uniforme con un calado de 2,1 m. n de Manning = 0,015. Halla la pendiente del fondo necesaria S (en m/m).

Q = 34 m³/sb = 5,5 my = 2,1 mz = 1,5n = 0,015

S = m/m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 119,6 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·3,75 = 119,6 kN

Respuesta

F = 119,6 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 4,519 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 0,25/(4,5·3) = 4,519 m

Respuesta

y_cp = 4,519 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: v = 2,828 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli hasta el punto de estancamiento

El flujo se detiene en la punta, así que su energía cinética aparece como presión adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·4000/1000) = 2,828 m/s

Respuesta

v = 2,828 m/s

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 264,7 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,75·(150/100)² = 3,938 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,75² − 3,938²)/1000 = −6,221 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 320 + (−6,221) − 49,05 = 264,7 kPa

Respuesta

p₂ = 264,7 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δp = 72,76 kPa

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Pérdida de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(150/0,1)·2,1²/(2·9,81) = 7,417 m

Caída de presión

La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·7,417 = 72765 Pa = 72,76 kPa

Respuesta

Δp = 72,76 kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Q = 183,4 L/s

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,022·200/0,25 = 17,6

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Ecuación de la energía

Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.

18 = (17,6 + 7,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·18/25,3) = 3,736 m/s

Caudal

Q = V·π·D²/4 = 3,736·0,04909 = 0,1834 m³/s = 183,4 L/s

Respuesta

Q = 183,4 L/s

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_el = 18,12 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·26 = 12,75 kW

Potencia en el eje

P_shaft = 12,75/0,8 = 15,94 kW

Potencia eléctrica

P_el = 15,94/0,88 = 18,12 kW

Respuesta

P_el = 18,12 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: H = 36,81 m

Velocidad

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0,408 = 11,42 m

Altura de presión

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Altura de la bomba

Las dos superficies están prácticamente en reposo, así que no hay término de altura de velocidad.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 20,39 + 11,42 = 36,81 m

Respuesta

H = 36,81 m

9.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: Q = 4,836 m³/s

Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.

Geometría

A = (b + z·y)·y = (2 + 2·0,6)·0,6 = 1,92 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·0,6·√(1 + 2²) = 4,683 m

R = A/P = 0,41 m

Velocidad

V = (1/0,012)·0,41^2/3·0,003^1/2 = 2,519 m/s

Caudal

Q = A·V = 1,92·2,519 = 4,836 m³/s

Respuesta

Q = 4,836 m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: S = 0,0005083 m/m

Geometría

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1,5·2,1)·2,1 = 18,17 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·2,1·√(1 + 1,5²) = 13,07 m

R = A/P = 1,39 m

Despeja S de Manning

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·34/(18,17·1,245) = 0,02255

S = 0,02255² = 0,0005083

Respuesta

S = 0,0005083

Eso supone un desnivel de 0,5083 m por kilómetro.

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